Si $p - 1 = 2q$ y $5$ es una raíz primitiva $\bmod q$ entonces $5$ es una raíz primitiva $\bmod p$

Question

Dejemos que $p$ y $q$ sean primos de impar. Si $p - 1 = 2q$ y $5$ es una raíz primitiva $\bmod q$ entonces $5$ es una raíz primitiva $\bmod p$ .

Gracias a Álvaro Lozano-Robledo, esto es lo que tengo; ¿es válido?

Si:

(A) p y q son primos Impares; y
(B) p - 1 = 2q <-> p = 2q + 1 ; y
(C) 5 es una raíz primitiva mod q.

entonces:

(1) Existen raíces primitivas phi(p-1) = phi(2q) = (1*(q-1)) = (q-1) mod p
(2) Existen (p-1)/2 = q no-residuos cuadráticos mod p
(3) Dado que ((impar*2) + 1) es siempre congruente con 3 mod 4; -1 mod p es un no-residuo cuadrático (Ley de Reciprocidad Cuadrática)
(4) (-1 mod p) es decir, (p-1 mod p) no puede ser una raíz primitiva porque ((p-1)^2 mod p) = ((p^2) - 2p + 1 mod p) = 1 mod p. p también es >= 7
(5) A partir de (1),(2),(3),(4) Todo cuadrático-no-residuo que no sea p-1 es una raíz primitiva.
(6) Legendre(5/q) = -1, Legendre(q/5) = -1, es decir, q^(4/2) es congruente con (4 mod 5); q es congruente con (+ o -) (2 mod 5)
(7) 2q es congruente con (4 o 1) mod 5
(8) (sustituir por 2q, p-1) p es congruente con (0 o 2) mod 5
(9) p no puede ser 5 ni ninguno de sus múltiplos, porque es un primo y debe ser mayor que 6.
(10) p debe ser congruente con 2 mod 5
(11) p^(5-1 /2) mod 5 es -1,
(12) Legendre(p/5) = -1, Legendre(5/p) = -1
(13) 5 es un no-residuo cuadrático mod p
(14) 5 es una raíz primitiva mod p fom (13),(1),(2),(3)

saludos arun

Answer 1

Esta es una forma de resolverlo. Dejemos que $p$ y $q$ sean primos Impares, con $p=2q+1$ . Prueba los siguientes pasos:

(1) Toda raíz primitiva es un no-residuo cuadrático.

(2) Hay $q$ no-residuos cuadráticos módulo $p$ y $q-1$ raíces primitivas mod $p$ .

(3) $p\equiv 3\bmod 4$ . Así, $-1$ es un no-residuo cuadrático mod $p$ .

(4) Por lo tanto, todo no-residuo cuadrático módulo $p$ , excepto $-1$ es una raíz primitiva.

(5) Por supuesto, $5$ es una raíz primitiva módulo $q$ . Así, $5$ es un no-residuo cuadrático módulo $q$ .

(6) Por reciprocidad cuadrática, $q\equiv \pm 2\bmod 5$ . De ello se desprende que $p\equiv 0$ o $2\bmod 5$ . Pero $q$ es impar, así que $p\neq 5$ Por lo tanto $p\equiv 2\bmod 5$ . Se deduce, de nuevo por reciprocidad cuadrática que $5$ es un no-residuo cuadrático módulo $p$ .

(7) Por (4) y (6), concluimos que $5$ es una raíz primitiva módulo $p$ .