expectativa condicional con distribución uniforme

Question

Si $r$ sigue una distribución uniforme en $[-10,20]$ ¿Cuál es la expectativa condicional de $E[r|r<0]$ ? Me siento muy confundido al tratar con el $r<0$ condición. Esto viene de una pregunta en la que se me pide que calcule $E[r|r<0]*P(r<0)$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

Si $r$ sigue una distribución uniforme en $[−10;20]$ ¿Cuál es la expectativa condicional de $E[r|r<0]$ ?

Es sólo el valor esperado de $r$ donde es menor que $0$ dividido por la probabilidad de que sea inferior a $0$ .

$$\begin{align}\mathsf E(r\mid r<0) &= \dfrac{\mathsf E(r~\mathbf 1_{r<0})}{\mathsf P(r<0)} \\[1ex]&= \dfrac{\int_{-10}^0 r~f(r)\operatorname d r}{\int_{-10}^0 f(r)\operatorname d x} \\[1ex]&= \int_{-10}^{0}r~f(r\mid r< 0)\operatorname d r\end{align}$$

Ahora bien, como $r$ se distribuye uniformemente sobre $[-10;20]$ Entonces...

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PS:

Esto viene de una pregunta en la que se me pide que calcule $E[r|r<0]∗P(r<0) $

Por supuesto, eso es sólo $\mathsf E(r~\mathbf 1_{r<0}) = \int_{-10}^0 r~f(r)\operatorname d r$

PPS: $\mathbf 1_{r<0}$ es una función indicadora; una función a trozos que es $1$ sólo cuando se indique, y $0$ en otro lugar. $$\mathbf 1_{r<0}~=~\begin{cases}1&:& r<0\\ 0& :&\text{elsewhere}\end{cases}$$