Automorfismos de extensiones de grupos

Question

Supongamos que tenemos una extensión de grupo $1 \to N \to G \to H \to 1$ y un automorfismo $\phi: G \to G$ . ¿Es correcto que este automorfismo induce automorfismos $\phi_N : N \to N$ y $\phi_H : H \to H$ ?

Si es así, esto significaría que la imagen por $\phi$ de elementos de la forma $(n,1_H) \in G$ son los elementos $(\phi_N(n),1_H)$ y que los elementos de la forma $(n,h) \in G$ se envían a $(\phi_N(n)\cdot n'(h),\phi_H(h))$ , donde $n'(h)$ es un elemento de $N$ que depende de $h$ . ¿Es esto también correcto?

Answer 1

No es cierto. Tomemos un automorfismo que no sea interior. Para los ejemplos abelianos, toma $G$ para ser los puntos del plano bajo la adición de vectores, y $N$ para ser cualquier línea que pase por el origen.

Ahora las rotaciones del plano por cualquier ángulo (no $0$ o $\pi$ ) es un automorfismo que no toma $N$ a $N$ .