¿Existe una convención preferible para definir el producto de la cuña?

Question

Existen diferentes convenciones para definir el producto cuña $\wedge$ .

En Kobayashi-Nomizu, hay $\alpha\wedge\beta:=Alt(\alpha\otimes\beta)$ , en Spivak, encontramos $\alpha\wedge\beta:=\frac{(k+l)!}{k!l!}Alt(\alpha\otimes\beta)$ , donde $\alpha$ y $\beta$ son cualquier forma de grado $k$ y $l$ respectivamente, y $Alt(\cdot)$ tomar la parte alternante del tensor.

Pero, ¿hay alguna razón para preferir uno de ellos entre los demás?

Si no es así, ¿qué prefiere y por qué razón?

Answer 1

En mi notación, [...] es lo mismo que Alt $\,\equiv\frac{\textstyle 1}{\textstyle k!}\sum\,sgn(\pi)\,.\,.\,.\,$ . Ahora, mi respuesta a la pregunta:

Hay varias formas equivalentes de introducir el producto en cuña. Una posibilidad es definir primero $\,\wedge\,$ para los formularios de las unidades, $$ e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_r}\;\equiv\;r!\,\left[\,e^{i_1}\,\otimes\;.\,.\,.\;\otimes\,e^{i_r}\,\right] \quad,\qquad $$ y luego emplear el simple teorema $$ \left[\,e^{j_1}\otimes\, .\,.\,.\,\otimes\,e^{j_{k+l}}\,\right]\;=\; \left[\;\; \left[\,e^{j_1}\otimes\, .\,.\,.\,\otimes\,e^{j_k}\,\right]\;\otimes\;\left[\,e^{j_{k+1}}\otimes\, .\,.\,.\,\otimes\,e^{j_{k+l}}\,\right] \;\;\right] $$ como medio para ampliar la definición de $\,\wedge\,$ a formas arbitrarias.

Para ello, reescribimos la igualdad anterior como $$ \left[\;\;\left(\,\;\frac{\textstyle 1}{\textstyle k!}\;\,e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_k} \,\;\right)\,\otimes\, \left(\,\;\frac{\textstyle 1}{\textstyle l!}\;\,e^{i_{k+1}}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_{k+l}} \,\right)\;\;\right]\;=\; \frac{\textstyle 1}{\textstyle (k+l)!}\;\;e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_{k+l}} ~\qquad $$ y luego como $$ \frac{(k+l)!}{k!\;l!}\;\left[\;\;\left(\,\;e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_k} \,\;\right)\,\otimes\, \left(\,\;e^{i_{k+1}}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_{k+l}} \,\right)\;\;\right]\;=\; e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_{k+l}} ~\;\;.\qquad\qquad $$ Ahora vemos que, si ampliamos la definición de $\,\wedge\,$ a formas exteriores arbitrarias como $$ \omega^k\,\wedge\,\omega^l\;\equiv\;\frac{(k+l)!}{k!\;l!}\;\left[\;\omega^k\,\otimes\,\omega^l\;\right]\;\; $$ y aplicarlo a $\;\left(\,\;e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_k} \,\;\right)\;$ y $\;\left(\,\;e^{i_{k+1}}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_{k+l}} \,\right)\;$ terminamos con $$ \left(\,\;e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_k} \,\;\right)\,\wedge\, \left(\,\;e^{i_{k+1}}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_{k+l}} \,\right)\;=\;e^{i_1}\,\wedge .\,.\,. \wedge\,e^{i_{k+l}}\;\,. $$ Esto sirve de motivación para introducir el factor de $\,{(k+l)!}/(k!\,l!)\,$ en la definición anterior.

Para terminar, el propósito de los factoriales es hacer la operación $\,\wedge\,$ asociativo.

Answer 2

Yo prefiero (¡por desgracia!) la versión "algebraica" de Kobayashi-Nomizu. Además, la beneficios formales de tener un proyector y no necesitar llevar factores combinatorios, aquí hay una caso geométrico diferencial :

Si $\nabla \alpha$ es la conexión Levi-Civita aplicada a la forma 1 $\alpha$ entonces la diferencial exterior $d\alpha$ es la parte antisimétrica de $\nabla\alpha$ . En la versión "geométrica" de Spivak sería $\frac 1 2 d\alpha$ .

(La parte simétrica de esta descomposición implica la derivada de Lie de la métrica. Véase el bonito libro de W.A. Poor, Differential Geometric Structures, o Riemannian Geometry 2nd ed. de Peter Petersen (¿Quién ha encontrado esta maravillosa descomposición?).

Espero estar confundido en esto... 1) Dos diferenciales exteriores "canónicos" diferentes sería un lío de escándalo. 2) No conozco ningún libro de texto que mencione esta cuestión

P.D.: véase el apéndice de http://arxiv.org/abs/math-ph/0212043 mostrando lo malo que puede pasar

Answer 3

Prefiero la convención de Kobayashi-Nomizu, ya que es la natural cuando se utiliza el enfoque moderno de las estructuras algebraicas. En esta configuración, el álgebra exterior de un espacio vectorial $V$ es el cociente $\bigwedge V = TV/I$ , donde $TV$ es el álgebra tensorial de $V$ y I es el ideal bilateral generado por elementos de la forma $x\otimes x$ . Tal y como se comenta en el apéndice de la referencia "Álgebra de Clifford euclidiana" en esta situación, hay que definir $ \alpha \wedge \beta := Alt (\alpha\otimes\beta) $

Answer 4

Es una convención. No tiene importancia. Esto es como preguntar si debe haber una $2\pi$ o un $\sqrt{2\pi}$ en la definición de la transformada de Fourier. En otras palabras, no es muy interesante, y definitivamente no es una pregunta de investigación matemática.