¿Existe una convención preferible para definir el producto de la cuña?

Question

Existen diferentes convenciones para definir el producto cuña $\wedge$ .

En Kobayashi-Nomizu, hay $\alpha\wedge\beta:=Alt(\alpha\otimes\beta)$ , en Spivak, encontramos $\alpha\wedge\beta:=\frac{(k+l)!}{k!l!}Alt(\alpha\otimes\beta)$ , donde $\alpha$ y $\beta$ son cualquier forma de grado $k$ y $l$ respectivamente, y $Alt(\cdot)$ tomar la parte alternante del tensor.

Pero, ¿hay alguna razón para preferir uno de ellos entre los demás?

Si no es así, ¿qué prefiere y por qué razón?

Answer 1

Creo que mucha gente se encuentra con este problema. Mi opinión es la siguiente:

Tome su espacio vectorial finito-dimensional $V$ y formar su álgebra tensorial $T(V)$ . Definir $\mathcal{J}$ para ser el ideal de 2 lados en $T(V)$ generado por elementos de la forma $v \otimes v$ y luego definir el álgebra exterior como $\Lambda(V) = T(V) / \mathcal{J}$ . Esto exhibe el álgebra exterior como un cociente del álgebra tensorial.

Las diferentes convenciones que se ven para el producto cuña surgen de diferentes incrustaciones del álgebra exterior en el álgebra tensorial. Definir en $V^{\otimes n}$ el mapa $$A_n (v_1 \otimes \dots \otimes v_n) = \frac{1}{n!} \sum_{\pi \in S_n} sgn(\pi) v_{\pi(1)} \otimes \dots \otimes v_{\pi(n)},$$ (o posiblemente con $\pi^{-1}$ en lugar de $\pi$ aunque supongo que no importa) y luego definir en el álgebra tensorial el mapa $$A = \bigoplus_{n=0}^{\infty} A_n.$$ Entonces se puede demostrar fácilmente que $A_n^2 = A_n$ para todos $n$ para que $A$ es una proyección.

La cuestión es que $\mathcal{J} = \mathrm{ker} (A)$ para poder identificar el cociente $\Lambda(V)$ avec $\mathrm{im} A$ es decir, ahora hemos incrustado el álgebra exterior como un subespacio del álgebra tensorial. Aquí es donde las dos convenciones difieren. Yo he definido $A_n$ con un $\frac{1}{n!}$ delante, pero algunos no lo hacen. Por supuesto, esto no cambia el núcleo del mapa, pero sí la incrustación del álgebra exterior en el álgebra tensorial.

Lo importante es que $A$ no es un mapa algebraico de $T(V)$ a sí mismo, por lo que la incrustación $\Lambda(V) \to T(V)$ no es una incrustación de álgebras. Ahora se pregunta cómo describir el producto exterior en términos del producto en $T(V)$ . Tome $\alpha \in \Lambda^k(V)$ y $\beta \in \Lambda^l(V)$ con representantes $\tilde{\alpha} \in \mathrm{im}(A_k)$ y $\tilde{\beta} \in \mathrm{im}(A_l)$ respectivamente. Entonces $A_{k+l}(\tilde{\alpha} \otimes \tilde{\beta})$ es el representante de $\alpha \wedge \beta$ que estás buscando.

Esencialmente, se reduce a si se pone o no la $\frac{1}{n!}$ frente a su mapa alternativo o no.

Answer 2

La cuestión aquí es que en realidad hay dos tareas: (1) Definir el álgebra de las formas diferenciales sobre una variedad, y (2) implementarlas como funciones multilineales sobre vectores tangentes. La manera natural de definirlas es siguiendo la línea de lo que dijo Donu: Las formas diferenciales en un punto son como un álgebra de polinomios sobre el espacio vectorial $V = T^*_pM$ excepto que es supercomutativo (o gradualmente conmutativo) en lugar de conmutativo. La condición de supercomutatividad es idéntica a tomar un cociente del álgebra tensorial, que es el álgebra libre no conmutativa sobre el espacio vectorial $V$ .

Pero entonces, para la segunda tarea, se desea que un monomio, en una base estándar de vectores cotangentes, tome valores de $\{0,1,-1\}$ si lo emparejas con una base estándar de vectores. Por ejemplo, se podría decir $$dx \wedge dy = dx \otimes dy - dy \otimes dx,$$ porque eso se evalúa como $1$ en $(\hat{x},\hat{y})$ y $-1$ en $(\hat{y},\hat{x})$ . Para ello, tienes que implementar el producto cuña con antisimetría y con factoriales, en realidad el recíproco del factor que das: $$\alpha \wedge \beta = \frac{(a+b)!}{a!b!} \mathrm{Alt}(\alpha \otimes \beta).$$

Si tuviera que explicar el tema, trataría los puntos (1) y (2) por separado. Es habitual confundir las dos cuestiones. Se trata de definir las formas como un subespacio de tensores (la solución habitual) o como un espacio cociente de tensores. La verdadera cuestión es que tienen que ser ambas cosas, y ese doble papel te lleva a los factores factoriales.

Answer 3

Las respuestas de Greg y MTS son bastante completas, así que no hay mucho más que decir al respecto. Sin embargo, me gustaría explicar mi comentario de que ver las formas diferenciales como tensores antisimétricos es a menudo desaconsejable, aunque no quiero parecer demasiado dogmático al respecto.

Mi primer argumento es pedagógico. Hacer la identificación anterior puede ser confuso (como lo demuestra la pregunta) y a menudo no viene al caso. Hace unos años, cuando daba una clase de cálculo vectorial, decidí hacer formas diferenciales. Los alumnos no tenían ni idea de productos tensoriales ni de álgebra multilineal, así que habría sido una mala idea intentar este enfoque. En su lugar, les dije que $dx$ etc. eran símbolos sujetos a la regla de la cadena $dx = \frac{\partial x}{\partial u}du+\ldots$ y que podrían multiplicarse en de tal manera que $dx\wedge dy= - dy\wedge dx$ . Di una explicación heurística en términos de áreas orientadas de rectángulos "infinitesimales" de por qué esto debería ser así... No voy a decir que el experimento fue totalmente exitoso, pero podría haber sido mucho peor.

Mi segundo argumento es más matemático. Las formas diferenciales pueden definirse dentro de la geometría algebraica geometría algebraica para espacios bastante generales. En este caso, la aproximación mediante tensores antisimétricos puede conducir a graves problemas. En la característica $p>0$ los denominadores serán indefinidos en general. Como nota interesante, en la prueba algebraica del teorema de Hodge de Deligne e Illusie sí que encuentran necesario hacer esta identificación. Pero tienen que restringir la dimensión del espacio para que sea menor que $p$ precisamente por esta razón. Aunque en el caso límite de la característica $0$ Esto no es un problema.

Answer 4

Creo que hay una buena razón para preferir la convención $\alpha\wedge\beta = \frac{(k+l)!}{k!l!} Alt(\alpha \otimes \beta)$ . Es decir, cuando $V=T_p^*(M)$ como en la respuesta de Greg Kuperberg, la contracción con un elemento $w \in T_p(M)$ es una derivación graduada del álgebra exterior, es decir $$\iota_w(\alpha \wedge \beta) = (\iota_w \alpha)\wedge \beta + (-1)^{|\alpha|} \alpha \wedge (\iota_w \beta)$$ El precio que pagan Kobayashi-Nomizu por su definición es tener que definir la contracción con un vector de una forma extraña que depende del grado de la forma con la que se contrae (véase la segunda ecuación mostrada en la página 35).

Answer 5

Cada una de las dos convenciones tiene su propia ventaja: la que tiene el coeficiente de normalización hace que el álgebra exterior se sitúe dentro del álgebra tensorial (como el subespacio de los tensores alternos) y que el mapa "Alt" sea una proyección sobre ese subespacio, de ahí la identidad en los tensores alternos, mientras que la convención con*sin* el factor de normalización es más adecuada para un campo terrestre de característica positiva, ya que de lo contrario el denominador del factor de normalización sería cero.