Hacer que una curva B-spline interpola a través de un punto de control

Question

En algún curso se dice que una curva B-spline puede hacerse interpolar a través de uno de sus puntos de control aumentando la multiplicidad de un nudo a n+1 ( n siendo el grado de la curva). Esto se puede aclarar utilizando las propiedades básicas de los splines, como la propiedad de localidad.

Posteriormente se observa que una multiplicidad de n ya es suficiente. No he podido encontrar ninguna explicación de por qué esto es así. ¿Alguien tiene una?

Answer 1

Por fin he encontrado una respuesta. Deja que $u_i, ..., u_{i+n-1}$ sean iguales (multiplicidad de $n$ ), entonces en $u_i$ la curva es igual a :

$$\begin{align} \vec{s}(u_i) & = \sum_{j=-n}^{p-1}\vec{d}_jN_j^n(u_i) \\ & = \sum_{j=i-n}^i\vec{d}_jN_j^n(u_i) \qquad\text{(locality)}\\ & = \sum_{j=i-n}^{i-2}\vec{d}_jN_j^n(u_{i+n-1})+\vec{d}_{i-1}N_{i-1}^n(u_i)+\vec{d}_iN_i^n(u_i) \qquad(u_i=u_{i+n-1})\\ \end{align}$$

El primer término puede omitirse debido a la propiedad de localidad, el último porque $N_i^n(u_i)$ es igual a cero si $u_i$ tiene una multiplicidad inferior a $n+1$ (que se da). Lo que queda es el segundo término, donde $N_{i-1}^n$ tiene que ser 1 debido a la propiedad de suma a uno.