Teorema de incrustación de Mitchell para categorías no necesariamente pequeñas

Question

El teorema de incrustación de Mitchell establece que si $\mathcal{A}$ es una categoría abeliana pequeña, entonces existe un anillo $R$ y un functor exacto totalmente fiel $F:\mathcal{A}\rightarrow R\mathsf{Mod}$ .

¿En qué medida se mantiene esto si $\mathcal{A}$ no es necesariamente pequeño? ¿Sigue siendo válido en general? ¿Necesitamos imponer hipótesis adicionales?

Answer 1

Freyd demostró en su artículo Concordancia (1973) que una categoría abeliana que admite un functor exacto fiel a $\mathsf{Ab}$ es bien potenciado; en realidad también lo contrario. Hay categorías abelianas que no son bien potentes, véase MO/93853 . Otro ejemplo se menciona en el prólogo de la reedición tac del libro de Freyd Categorías abelianas (2003) con detalles en su documento Homotopía estable (1966): La categoría de homotopía estable se incrusta de forma totalmente fiel en una categoría abeliana (que por tanto no es concretizable).