En su documento La unificación de las matemáticas a través de la teoría de los topos Según Olivia Caramello, "se puede generar un gran número de resultados nuevos en cualquier campo matemático sin ningún esfuerzo creativo". ¿Es esto una exageración, y si no es así, es una idea nueva o siempre se ha pensado que la teoría de los topos podría permitir la generación automática de teoremas?
La teoría del topos proporciona un diccionario entre (ciertas áreas de) la lógica y (ciertas áreas de) la geometría. Como tal, ofrece todas las ventajas que ofrecen los diccionarios matemáticos: permite traducir entre dos lenguajes cuyas evoluciones naturales proceden de forma independiente. Una idea que resulta obvia en un ámbito puede no serlo tanto cuando se traduce al otro.
Los diccionarios no pueden hacer magia. En particular, suele ser demasiado optimista pensar que un diccionario le permitirá demostrar nuevas e importantes teoremas sin esfuerzo. Es cierto que a veces tenemos suerte en este sentido. Cuando Richard Stanley descubrió por primera vez el diccionario entre las variedades tóricas y los politopos convexos En el caso de los diccionarios, la recompensa que obtuvo fue la demostración de una importante conjetura combinatoria con muy poco esfuerzo, porque los geómetras ya habían trabajado mucho para resolver exactamente el problema que él necesitaba. Pero lo más habitual es que la recompensa de un diccionario sea que permita formular buenas preguntas con muy poco esfuerzo. Es decir, ahora tienes una nueva forma de pensar en los viejos problemas, por lo que puedes encontrar más fácilmente el camino hacia una solución tomando prestados conceptos de ambos dominios. Seguirás teniendo que trabajar duro para resolver problemas difíciles, pero tu caja de herramientas es ahora más grande.
No puedo responder a la pregunta, pero he asistido a la charla de Olivia hoy en el CT2010 en Génova, donde presentaba este trabajo, y le he hecho algunas preguntas después. Cualquier error o tergiversación en mis siguientes comentarios es totalmente mío.
Cuando la declaración informal se hace técnica, parece que hay algunas salvedades. En primer lugar, sólo se aplica a las teorías matemáticas que pueden formalizarse en lógica geométrica. Este es un tipo de lógica con una restricción sobre cómo se pueden utilizar los cuantificadores en los axiomas. Según Olivia, esto no es una gran restricción, ya que incluye, por ejemplo, la lógica finita, y más.
En segundo lugar, para poder transportar resultados de una teoría a otra, las teorías deben ser equivalentes a Morita. Aparentemente, esto es más común de lo que uno podría pensar, y una vez que se tiene la equivalencia de Morita, se puede transportar todo tipo de resultados de un lado a otro. Así que tal vez sería justo decir que se hace un "esfuerzo creativo" para encontrar equivalencias de Morita apropiadas en primer lugar.
Olivia se remitió a su tesis doctoral para ver una serie de ejemplos en los que se había hecho esto. La verdad es que no he visto los ejemplos. Las áreas de las matemáticas que mencionó específicamente en su charla fueron el álgebra, la topología, dos ramas diferentes de la lógica (teoría de la prueba y teoría de modelos), y una quinta que he olvidado. Definitivamente no son las EDP ni la geometría riemanniana.
Dos observaciones más: un topos es un tipo de teoría de conjuntos, por lo que es realmente plausible que todo tipo de áreas de las matemáticas puedan formalizarse dentro de un topos. A veces lo hacen matemáticos "reales" (es decir, no lógicos). Por ejemplo, la formalización en curso de Tom Hales de la prueba de la conjetura de Kepler se hace en HOL Light, que utiliza una lógica de topos, por lo que recuerdo. (La prueba no es constructiva, ya que se han añadido el medio excluido y el axioma de elección como axiomas adicionales). Tom ya ha dado una prueba completa del teorema de la curva de Jordan que puede ser comprobada por una máquina. El punto de hacer esto en HOL Light, en este punto, no es tanto el aspecto de topos, sino el hecho de que las pruebas pueden ser verificadas por la máquina, eliminando la incertidumbre residual del árbitro. Esto es impracticable con la teoría de conjuntos "ordinaria".
Por último, cuando uno afirma ser capaz de generar "nuevos teoremas", esto no significa necesariamente "nuevos teoremas interesantes". Supongo que en algunos casos pueden ser interesantes, pero quizá más para los lógicos que para otros matemáticos. Por otra parte, ya ha sucedido antes que áreas disjuntas de las matemáticas estuvieran relacionadas, y cuando esto sucede, siempre es útil. Es bueno tener otra vía.
Esta afirmación es cierta, pero hay mucho menos de lo que parece.
Los topos son artilugios que son a la vez modelos de un fragmento bastante grande de la lógica (la lógica de orden superior tipificada), y son generalizaciones de gavillas en un espacio topológico. (La razón por la que esta conexión es posible es moralmente que los conjuntos abiertos de un espacio topológico forman un álgebra de Heyting, que es un modelo de la lógica intuicionista proposicional). Como resultado de su gran fuerza lógica, se pueden tomar muchas construcciones prácticas y codificarlas en la lógica interna de un topos. Luego se puede tomar una vista externa y golpear estas construcciones con la magia técnica de los topólogos.
Dado que los topólogos y los lógicos hablan entre sí con bastante menos frecuencia de lo que deberíamos, este método es una fuente muy fértil de teoremas. Lo de "sin esfuerzo creativo" no es más que una floritura retórica destinada a animar a la gente a aprender sobre los topoi: no hay forma (actualmente) de que un ordenador pueda generar teoremas mediante la teoría de los topos. Pero es una herramienta eficaz para que los matemáticos humanos trasladen ideas de un área a otra, lo que siempre ha sido un esfuerzo productivo.
El libro que hay que leer sobre este tema es el de MacLane y Mordeijk Haces en Geometría y Lógica que, como se puede adivinar por el título, hace hincapié en la moraleja de que adoptar una perspectiva sintetizadora de las matemáticas suele ser valioso.
Por favor, dé un ejemplo de un teorema interesante generado mediante el procedimiento del segundo párrafo.
El trabajo de Fiore y Simpson "Lambda-Definability with Sums via Grothendieck Logical Relations" mostró cómo adaptar la idea de un álgebra de cobertura o topología de Grothendieck al entorno de la teoría estructural de la prueba, que Balat et al utilizaron posteriormente para dar un algoritmo de normalización para el cálculo lambda con tipos de suma disjuntos. La idea era que la distinción de casos en la regla de eliminación de la disyunción podía dividirse y las piezas podían tomarse como una especie de "cubierta abierta" de toda la prueba.
Querido Neel: Lamentablemente no comprendo lo que dice tu ejemplo (incluso el insight que dices que no se había notado antes). Debería haber dicho "teorema interesante en un campo de las matemáticas distinto de la lógica", puesto que los lógicos parecen estar ya vendidos a los topoi. Ya que dices que la cita de la pregunta es cierta, en el espíritu de "cualquier campo matemático" seamos específicos y tomemos 3 grandes campos: EDP, geometría riemanniana y teoría de la representación.
Sería presuntuoso por mi parte tratar de responder a esta pregunta, pero quiero compartir con otros MOers este documento reciente
http://www.ihes.fr/~lafforgue/math/TheorieCaramello.pdf
de Laurent Lafforgue y este vídeo
https://sites.google.com/site/logiquecategorique/Contenus/20130227_Lafforgue
de una de sus recientes conferencias, [cuyo] propósito [] es plantear esta pregunta (inspirada en la teoría de Caramello): ¿es la independencia de $l$ de la cohomología $l$ -¿Son las correspondencias -ádica y de Langlands equivalencias de Morita entre topos clasificadores?
Esta es una cita del documento : La teoría de Caramello... ofrece ya un gran número de ejemplos de equivalencias de Morita y sus aplicaciones. y sus aplicaciones. Estos ejemplos son sorprendentemente diversos y casi siempre parecen sorprendentes. Muchas de las declaraciones habría sido muy difícil de probar, y aún más difícil de imaginar, sin la sin los topos y los métodos de cálculo que la teoría de Morita de clasificar los topos y y equivalencias de Morita hace posible y natural. Si se tiene en cuenta que la correspondencia de Langlands es muy similar a una equivalencia de Morita y que es equivalencia, y que puede ser una, se piensa que el campo abierto a esta teoría es esta teoría es inmensa.
Cuando una frase se saca de un contexto, es fácil malinterpretarla. Si se observa el documento, "se puede generar un gran número de resultados nuevos en cualquier campo matemático sin ningún esfuerzo creativo" tiene sentido y está justificado.
La idea es que la mayoría de las Matemáticas pueden formalizarse como una teoría geométrica, es decir, una teoría lógica con disyunción infinita y conjunción finita con las reglas naturales de inferencia. Esto es cierto ya que la mayoría de las Matemáticas pueden formalizarse en lógica de primer orden que puede traducirse en lógica geométrica, y la traducción preserva los modelos teóricos de conjuntos. La teoría de modelos de la lógica geométrica es naturalmente categórica; de hecho, es sólida y completa (en un sentido fuerte) cuando se consideran los modelos categóricos que viven dentro de las topos de Grothendieck. El teorema de completitud se demuestra construyendo un modelo universal que vive en un topos especial, el clasificación de los topos .
El resultado de Olivia muestra que teorías muy diferentes comparten el mismo topos clasificatorio (o mejor, tienen topos clasificatorios diferentes pero equivalentes). Cuando este hecho ocurre, y no es raro - Olivia proporciona técnicas muy generales para lograr este resultado - el topos clasificador permite trasladar resultados de una teoría a otra. Los ejemplos han demostrado que resultados muy simples en una teoría se traducen en resultados muy profundos en otras teorías. Pero la técnica de traslación no está orientada al diccionario, sino al "módulo de un invariante abstracto", lo que permite un grado de libertad extremadamente alto.
Lo interesante de esta maquinaria, que no es automática, es precisamente que se puede generar un gran número de nuevos resultados matemáticos en cualquier campo de las Matemáticas sin ningún esfuerzo creativo significativo. Por supuesto, no cada resultado puede generarse de esta manera, por lo que sabemos ahora, y no todos los resultados generados son significativos. Se necesita la intuición matemática de un matemático culto para elegir las teorías adecuadas y el invariante correcto para conseguir un resultado significativo. Los ejemplos de Olivia muestran que invariantes muy simples aplicados a teorías muy clásicas proporcionan explicaciones a resultados profundos y se han obtenido un par de nuevas interpretaciones de resultados clásicos.
Hasta donde puedo entender los resultados de Olivia, creo en sus conclusiones porque sus artículos las demuestran. Por supuesto, mi comprensión no es perfecta y la explicación anterior son aproximaciones de los resultados reales. Y sí, ella está haciendo una gran afirmación - pero me convencí de que es una verdad.
@Marco: Ayudará a aclarar las cosas si puedes proporcionar un ejemplo de un resultado profundo en alguna parte de las matemáticas aparte de la lógica o la teoría de conjuntos que se deduzca de un resultado simple en otra teoría por medio de topoi. (Nota: los resultados que son aplicaciones rutinarias del Lemma de Zorn y/o fácilmente equivalentes al Axioma de Elección no cuentan como profundos).
@BCnrd: puede encontrar una respuesta parcial a su pregunta en arxiv.org/abs/0808.1972 que muestra un resultado no trivial obtenido en Álgebra, concretamente en la teoría de campos. Por otro lado, hay que tener en cuenta que la teoría de Olivia ha sido concebida en 2008. Ha alcanzado su plena expresión a finales de 2009, y en los últimos meses ha sido refinada y ampliada, como se puede comprobar en el Archivo de Matemáticas. No es extraño que haya un número limitado de ejemplos fuera de la lógica: Si uno tiene que desarrollar una nueva teoría, primero se centraría en el campo en el que vive de forma natural.
Estimado Marco: ¿qué hay de interesante (y no digamos de profundo) desde el punto de vista de la teoría de campos en el enlace que das? (Creo que nunca me he encontrado con una situación en la que el tema de DeMorgan sea relevante, y conozco la teoría de campos extremadamente bien y la he utilizado de muchas muchas maneras). En particular, sigo sin ver qué justifica la afirmación de que sus trabajos permiten traducir algo sencillo en una parte de las matemáticas en algo profundo en otro. Por lo que veo, el gran alcance de lo que reclama Olivia no es apropiado en este momento.
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6 votos
Otra pregunta desenfocada y polémica :-(
13 votos
Creo que en realidad está centrado. Estoy buscando expertos en la teoría Topos para dar una evaluación objetiva de las afirmaciones del documento, que suenan muy grandes. Y ya hay una respuesta más abajo.
41 votos
Me encantaría ver demostrado el primer teorema de las ecuaciones de Navier-Stokes mediante la teoría de los topos...
55 votos
Ser capaz de crear un gran número de platos nuevos no le convierte a uno en chef.
28 votos
A los que votan para cerrar: ¡sinceramente, gente! Tanto si la pregunta le parece polémica como si no, ya hay algunas respuestas interesantes a continuación y quizá vengan más. Eso es lo que importa.
35 votos
No hace falta saber nada de teoría de topos para saber que la afirmación "Se puede generar un gran número de nuevos resultados en cualquier campo matemático sin ningún esfuerzo creativo" es trivialmente cierta si no se exige que los nuevos resultados sean de interés para nadie y trivialmente falsa en caso contrario: casi por definición, el "esfuerzo creativo" es el que produce teoremas nuevos e interesantes. El artículo (incluido su título) me pareció bastante exagerado. Probablemente otros opinen lo mismo. Pero esto no debería reflejarse negativamente en el OP -- él sólo pidió nuestra opinión sobre esta curiosa afirmación.
39 votos
¿Por qué de repente se lanzan tantos hombres de paja? Sí, esta afirmación es trivialmente cierta si se toma para abarcar cualquier nuevos teoremas, y casi con toda seguridad falso si se piden teoremas conocidos muy concretos. Pero la intención original está claramente en algún punto intermedio: ¿cuántos teoremas no triviales interesantes hay (¿ninguno? ¿algunos? ¿o muchos, como afirma Caramello?) que puedan leerse directamente a través de diccionarios topos-teóricos a partir de teoremas de otras áreas? Y ésta es sin duda una pregunta interesante y razonablemente precisa.
2 votos
Un tanto irónicamente, supongo, he votado por cerrar esto porque creo que, dado el reciente interés por el tema, merece una pregunta mejor. Por ejemplo, creo que la pregunta que hace BCnrd en los comentarios sería una buena pregunta: describa un ejemplo de dos teorías que estén asociadas entre sí en el sentido de Caramello, y un teorema conocido en un lado que implique ("sin ningún esfuerzo creativo", ¡aunque esto, por supuesto, ignora el propio esfuerzo de Caramello!) un teorema correspondiente en el otro lado.