Uso de la proyección iterativa para resolver un problema de minimización

Question

Matrices dadas $\Gamma_1, C \in \mathbb R^{n \times n}$ encontrar una matriz $\Gamma \in \mathbb R^{n \times n}$ que minimiza la norma matricial de $\Gamma - \Gamma_1$ con limitaciones

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \| \Gamma - \Gamma_1 \|\\ \text{subject to} & \Gamma 1_n = 1_n\\ & \Gamma^{\top} 1_n = 1_n\\ & C \Gamma = 1_n 1_n^{\top}\end{array}$$

¿Cómo puedo resolverlo con MATLAB? He encontrado que alguien utiliza las proyecciones iterativas de Bregman. ¿O se puede resolver utilizando métodos proximales?

¿Hay algún método para solucionarlo? Es muy importante para mi investigación actual. Espero que alguien pueda ayudarme.

Answer 1

Matrices dadas $\mathrm X_0, \mathrm C \in \mathbb R^{n \times n}$ ,

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \| \mathrm X - \mathrm X_0 \|_{\text{F}}^2\\ \text{subject to} & \mathrm X 1_n = 1_n\\ & 1_n^{\top} \mathrm X = 1_n^{\top}\\ & \mathrm C \mathrm X = 1_n 1_n^{\top}\end{array}$$

Vectorización , $\tilde{\mathrm x} := \mbox{vec} (\mathrm X)$ obtenemos la siguiente convexa programa cuadrático (QP)

$$\begin{array}{ll} \text{minimize} & \| \tilde{\mathrm x} \|_2^2 - 2 \langle \mbox{vec} (\mathrm X_0), \tilde{\mathrm x} \rangle + \| \mathrm X_0 \|_{\text{F}}^2\\ \text{subject to} & (1_n^{\top} \otimes \mathrm I_n ) \, \tilde{\mathrm x} = 1_n\\ & (\mathrm I_n \otimes 1_n^{\top}) \, \tilde{\mathrm x} = 1_n\\ & (\mathrm I_n \otimes \mathrm C) \, \tilde{\mathrm x} = 1_{n^2}\end{array}$$

En MATLAB, utilice la función quadprog para resolver esta QP. A continuación, utilice reshape para desvectorizar la solución.