Sólo estoy empezando a aprender estadística.
La definición que me han dado para el valor esperado (expectativa) de una variable aleatoria continua X con función de densidad de probabilidad (PDF) $f_X$ es la siguiente
$$ E[X] = \int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)xdx $$
A pesar de estar empezando con las estadísticas, ya he tropezado muchas veces con el uso de una propiedad que no estaba explicada y a la que no le encuentro explicación. No conozco las condiciones exactas de aplicación de esta propiedad, pero parece que $E[h(X)]$ donde h es una función de $\mathbb{R}$ a $\mathbb{R}$ que, supongo, tiene que verificar algunas condiciones, se expresa a menudo, por algunas personas como:
$$ \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)f_X(x)dx $$
Por ejemplo, en el curso que estoy siguiendo, definen la varianza $Var(X)$ como la expectativa de $(X - \mu)^2$ . Todo lo que obtengo de esta definición es que si $f_{(X-\mu)^2}$ es el PDF de $(X - \mu)^2$ entonces
$$ Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}f_{(X-\mu)^2}(x)xdx $$
Sin embargo, sin otra explicación, la varianza se sustituye por la siguiente expresión:
$$ Var(X) = \int_{-\infty}^{+\infty}(x-\mu)^2f_X(x)dx $$
durante el curso. Otro ejemplo, en este puesto:
https://stats.stackexchange.com/a/133474/67507
está escrito que ( $f$ siendo el PDF de $X$ ): $$ E[X^2] = \int_{-\infty}^{\infty}{x^2 f(x) dx} $$
La integración también es un trabajo en progreso para mí en este momento, así que probablemente me falta alguna propiedad básica de las integrales para hacer este paso de $$ \int_{-\infty}^{+\infty}f_{h \circ X}(x)xdx $$ a $$ \int_{-\infty}^{+\infty}h(x)f_X(x)dx $$ Pero, ¿cuál es el teorema/propiedad que permite hacer eso y dónde puedo encontrar una prueba de ello?
