Ejercicio de teoría de conjuntos con uniones y complementos

Question

Dejemos que $X$ sea un conjunto. $A\subset X$ y $B\subset X$

$A\subseteq B$ si $A^c\cup B = X$

Mi intento: Supongamos que $A\subseteq B$ y $x\in A^c\cup B = X$ entonces $x\in A^c$ o $x\in B$ o ambos. Si $x\in A^c$ entonces $x\notin A$ pero esto es una contradicción.

No estoy seguro de dónde ir desde aquí cualquier sugerencia es muy apreciada

Answer 1

Si $A\subseteq B,$ entonces $B^c\subseteq A^c$ . Ahora $X =B\cup B^c\subseteq B\cup A^c\subseteq X.$ Lo hemos demostrado: $A^c\cup B = X.$

Dejemos que $A^c\cup B = X.$ Si $x\in A \subseteq X,$ entonces $x\in X= A^c\cup B$ . Desde $x\notin A,$ tenemos $x\in B.$ Lo hemos demostrado: $A\subseteq B.$