Estoy tratando de comprender la estrella de Hodge de la operación, pero han llegado a través de un callejón sin salida casi de inmediato.
Tengo la definición
$$(\star \omega)_{a_1\dots a_{n-p}}=\frac{1}{p!}\epsilon_{a_1\dots a_{n-1}b_1\dots b_p}\omega^{b_1\dots b_p}$$
donde $\epsilon = \frac{1}{n!}\sqrt{|\det{g}|}\ dx^1\wedge\dots\wedge dx^n$ es la forma de volumen en el colector.
Pensé que iba a tratar de encontrar una fórmula para $\star (dx^{\mu_1}\wedge\dots dx^{\mu_p})$ como un ejercicio. Pero me parece que no puede llegar a salir a una buena respuesta.
En particular, quiero tener un montón de términos como
$$g^{\mu_{\alpha} b_{\alpha}}$$
de la reducción de los índices. No hay textos que he leído parece involucrar estos! Podría alguien, posiblemente, dime la fórmula correcta para el resultado, y me dan algunos consejos sobre cómo hacer el cálculo de forma eficiente?
Muchas gracias!
