Quiero demostrar para cada uno de los dominios (I), si existe una secuencia de polinomios que convergen a $f$ donde $f(x) = x \sin(1/x) $ si $x>0$ et $0$ si $x=0$ .
(a) $I = (0,1]$
(b) $I = [1, \infty)$
Esto es lo que pienso: creo que para ambos casos, no hay. para el caso (b): para cualquier secuencia de polinomios $\{P_n\}_{n=1}^\infty$ tenemos $\| P_n -f \|_{sup} \geq \lim_{x\rightarrow\infty}|P_n(x) - f(x)| = \infty \nrightarrow0$ Así que $P_n$ no converge uniformemente en R. ¿Es esto correcto?
y para el caso (a): Es el mismo formato pero creo que tengo que considerar $\lim_{x\rightarrow0}|P_n(x)-f(x)| $ . Estoy atascado aquí, no sé cómo mostrarlo $\nrightarrow0$ .
