Intervalo de confianza para el término cuadrado evaluado en la media en Stata

Question

Cuando se ejecuta una regresión OLS con un término cuadrado, $$y = a + b_1(X) + b_2(X^2) + e$$ Sé que el efecto parcial de $X$ es $b_1 + 2b_2(\bar X)$ para conseguir el efecto global de $X$ en $Y$ evaluado en la media. Utilizando

reg y x c.x#c.x
margins, dydx(*) atmeans

lo hace en Stata y también incluye un IC del 95% para el efecto global. Mi pregunta ahora es: ¿cómo margins calcular el error estándar y el IC del 95% del efecto global de $X$ ¿en la media?

Answer 1

El efecto parcial es sólo una combinación lineal, por lo que la varianza de ese efecto parcial es:

$\mathrm{var}(b_1) + (2\overline{x})^2\mathrm{var}(b_2)+2(2 \overline{x})\mathrm{cov}(b_1,b_2)$

El error estándar es simplemente la raíz cuadrada de esa varianza. Se supone que la distribución muestral del efecto parcial es una distribución normal (gaussiana), por lo que puede utilizarla para calcular los intervalos de confianza.

Como puede ver a continuación, margins llega a la misma conclusión:

. sysuse nlsw88
(NLSW, 1988 extract)

. qui: reg wage c.ttl_exp##c.ttl_ex
. 
. // use -margins-
. margins, dydx(*) atmeans

Conditional marginal effects                      Number of obs   =       2246
Model VCE    : OLS

Expression   : Linear prediction, predict()
dy/dx w.r.t. : ttl_exp
at           : ttl_exp         =    12.53498 (mean)

------------------------------------------------------------------------------
             |            Delta-method
             |      dy/dx   Std. Err.      z    P>|z|     [95% Conf. Interval]
-------------+----------------------------------------------------------------
     ttl_exp |   .3211941    .025843    12.43   0.000     .2705427    .3718455
------------------------------------------------------------------------------
. 
. // do this manually
. sum ttl_exp if e(sample), meanonly

. scalar b = _b[ttl_exp] + 2*_b[c.ttl_exp#c.ttl_exp]*r(mean)
. 
. matrix V = e(V)
. scalar se = sqrt(V[1,1] + (2*r(mean))^2*V[2,2] + 2*2*r(mean)*V[1,2])
. 
. di b
.3211941

. di se
.02584303

. di b - invnormal(0.975)*se
.2705427

. di b + invnormal(0.975)*se
.3718455