Homeomorfismo entre $S^1×S^1$ et $S^2$

Question

¿Son los dos conjuntos $S^1×S^1$ et $S^2$ ¿homeomorfo?

Estoy pensando que no lo son pero no recibo ningún argumento para ello.

Answer 1

Considere el bucle $\{1\}\times \Bbb S^1$ en el toroide $\Bbb S^1\times \Bbb S^1$ . Supongamos que existe un homeomorfismo $f:\Bbb S^1\times \Bbb S^1\to\Bbb S^2$ . Entonces $f(\{1\}\times \Bbb S^1)$ es un bucle en $\Bbb S^2$ . Ahora, $\Bbb S^2\backslash f(\{1\}\times \Bbb S^1)$ está desconectado. Pero, $(\Bbb S^1\times \Bbb S^1)\backslash (\{1\}\times \Bbb S^1)$ está conectado.

Para mostrar, $(\Bbb S^1\times \Bbb S^1)\backslash (\{1\}\times \Bbb S^1)$ está conectado, considere dos puntos cualesquiera, $(e^{i\theta_k},e^{i\psi_k})\in (\Bbb S^1\times \Bbb S^1)\backslash (\{1\}\times \Bbb S^1)$ para $k=1,2$ . Aquí $0<\theta_1,\theta_2<2\pi$ et $0\leq \psi_1,\psi_2\leq 2\pi$ . Ahora, tenemos un camino desde $ (e^{i\theta_1},e^{i\psi_1})$ a $(e^{i\theta_1},e^{i\psi_2})$ y un camino desde $(e^{i\theta_1},e^{i\psi_2})$ a $(e^{i\theta_2},e^{i\psi_2})$ . Así que yuxtaponiendo estos caminos tenemos un camino desde $(e^{i\theta_1},e^{i\psi_1})$ a $(e^{i\theta_2},e^{i\psi_2})$ . Por lo tanto, $(\Bbb S^1\times \Bbb S^1)\backslash (\{1\}\times \Bbb S^1)$ es un camino conectado.

A continuación tenemos que mostrar, $X:=\Bbb S^2\backslash f(\{1\}\times \Bbb S^1)$ está desconectado. Para mostrar esto, observe que, bajo proyección estereográfica tenemos, $X\simeq \Bbb R^2\backslash L$ , donde $L$ es una línea homeomorfa a $\{f(1, e^{i\psi}):0<\psi<2\pi\}$ . Pero, $\Bbb R^2\backslash L$ está desconectado. Así que hemos terminado. Y esto completa la prueba.

$$\textbf{Note:-- }\frac{\Bbb S^1\times\Bbb S^1}{\big(\Bbb S^1\times\{1\}\big)\cup \big(\{1\}\times\Bbb S^1\big)}\text{ is homeomorphic to }\Bbb S^2.$$