El complejo de Koszul como resolución libre graduada

Question

Estoy intentando calcular la función de Hilbert de una intersección completa utilizando el complejo de Koszul, pero creo que lo estoy enfocando mal. Si dejamos que $R=k[x,y,z]$ y

$$A= R/(f_1,f_2)$$

el complejo Koszul de $(f_1,f_2)$ nos da la siguiente secuencia exacta

$$ 0 \to R \stackrel{d_2}\to R^2 \stackrel{d_1}\to R \to A \to 0.$$

Pero $d_2(r) = (f_1r, f_2r)$ no parece ser un mapa homogéneo, y no puedo pensar en una manera de cambiar la clasificación en $R$ o $R^2$ de tal manera que lo haga funcionar. Creo que la clasificación en $R^2$ viene dada por $R^2_g = R_a \bigoplus R_b$ donde $a+b =g$ . Tal vez me equivoque al respecto, o mi malentendido radique en otra parte. Se agradecerá cualquier opinión al respecto.

Answer 1

Como se señala en los comentarios, hay que suponer que $f_1$ y $f_2$ son elementos homogéneos. Sin embargo, el verdadero problema es que tu definición del complejo de Koszul necesita algunas mejoras. Empecemos por el caso de un elemento graduado: el complejo de Koszul en este caso es $$0\to R(-d)\stackrel{\cdot f}{\to} R\to 0$$ donde $\deg f= d$ . El complejo Koszul asociado a $(f_1,\cdots,f_n)$ es entonces el complejo total del producto tensorial de los complejos de Koszul asociados a cada $f_i$ , que en su caso se parece a $$0\to R(-d_1-d_2)\to R(-d_1)\oplus R(-d_2) \to R\to 0$$ donde el primer mapa envía $r\mapsto (f_2r,f_1r)$ y el segundo mapa envía $(r,s)\mapsto f_1r-f_2s$ (hasta quizás un pequeño error de signo/diferencia en las convenciones).

Ahora vamos a demostrar que esto funciona bien con las calificaciones. En primer lugar, recordemos que el operador de desplazamiento está definido de manera que $R(s)_d=R_{d+s}$ a continuación, recuerde que si $M$ y $N$ se clasifican $R$ -entonces la graduación en $M\oplus N$ es tal que $(M\oplus N)_d = M_d\oplus N_d$ .

Para comprobar que nuestro primer mapa es realmente un mapa graduado, supongamos $r\in R_d = R(-d_1-d_2)_{d+d_1+d_2}$ . Como $f_ir\in R_{d+d_i} = R(-d_j)_{d+d_i+d_j}$ tenemos que nuestro primer mapa está graduado exactamente como queremos. El segundo mapa es similar: si $(r,s)\in [R(-d_1)\oplus R(-d_2)]_d$ entonces $r\in R_{d-d_1}$ y $s\in R_{d-d_2}$ Así que $f_1r\in R_d$ y $f_2s\in R_d$ exactamente como debería ser.