Radio de convergencia $\sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$ , donde $a_n = 2a_{n-1} + 1$

Question

Quiero demostrar que el radio de convergencia de $$g(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n z^n$$ es $1/2$ cuando $a_0 = 1$ y $a_n = 2a_{n-1} + 1$ para $n \geq 1$ . Desde $$g(z) = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n z^n = 1 + \sum_{n=1}^{\infty} (2a_{n-1} + 1)z^n = 2zg(z) + \frac{1}{1-z}$$ $$\iff g(z) = \frac{1}{(1-2z)(1-z)}, $$

Me pregunto si puedo utilizar de alguna manera esta fórmula de forma cerrada para $g(z)$ . Desde $1-2z = 0$ para $z=1/2$ Eso me hace sospechar que de alguna manera eso está relacionado con el radio de convergencia, pero no he podido averiguar cómo... ¿Alguien puede ayudarme a explicarlo?

Answer 1

Ya casi has terminado: $$\frac{1}{(1-2z)(1-z)}=\frac{2}{1-2z}-\frac{1}{1-z} =\sum\limits_{n=0}2^{n+1}z^n-\sum\limits_{n=0}z^n=\\ \sum\limits_{n=0}(2^{n+1}-1)z^n$$ de progresión geométrica infinita o $$a_n=2^{n+1}-1$$ Este método se llama método de funciones generadoras para resolver las recurrencias, ici es otro buen recurso. Como se mencionó en los comentarios, prueba de relación muestra $r=\frac{1}{2}$ .