Una conjetura de positividad de Schur relacionada con las permutaciones de filas y columnas

Question

El problema Contar los ciclos después de permutar dentro de las filas y columnas me recuerda a la siguiente conjetura mía no publicada. Sea $D$ sea cualquier finito diagrama plano finito (en el sentido del diagrama de Young, que es un caso especial caso especial), digamos que con $n$ cuadrados. Poner los números $1,2,\dots,n$ en los cuadrados del diagrama. Sea $R_D$ sea el subgrupo del simétrico simétrico $S_n$ permutando elementos dentro de cada fila, y de forma similar $C_D$ para las columnas. Sea $\chi$ y $\psi$ sea cualquier carácter de $S_n$ . Definir $$ u_D=\sum_{\substack{u\in R_D\\ v\in C_D}} \chi(u)\psi(v)p_{\rho(uv)}, $$ donde $p_{\rho(uv)}$ es la función simétrica de suma de potencias indexada por el tipo de ciclo de $uv$ . Entonces (conjeturalmente) $u_D$ es Schur-positivo.

Esta conjetura está abierta incluso para diagramas de particiones cuando $\chi$ y $\psi$ son el carácter trivial. (En este caso, se puede demostrar para formas de gancho que $u_D$ es incluso $h$ -positivo, pero $h$ -la positividad falla en la mayoría de los demás casos). Cuando $D$ es el diagrama de una partición $\lambda$ y donde $\chi$ es el carácter trivial y $\psi$ el carácter de signo, tenemos $u_D= H_\lambda s_\lambda$ , donde $H_\lambda$ es el producto de las longitudes de los ganchos de $\lambda$ . Ver las diapositivas de Valentin Féray en http://fpsac.combinatorics.kr/program .

Answer 1

Me enteré de esta conjetura por Sara Billey en el FPSAC, y creo que tengo un argumento. Dejemos que $F : \mathbb{C}[S_n] \to \mathbb{Z}[x_1, \ldots, x_N]^{S_N}$ sea el mapa lineal que envía $w \mapsto p_{\rho(w)}(x_1, \ldots, x_N)$ y $V$ un espacio vectorial complejo con $\dim V = N \geq n$ .

Lema : Si $\alpha \in \mathbb{C}[S_n]$ actúa sobre $V^{\otimes n}$ (a la derecha) con valores propios no negativos, entonces $F(\alpha)$ es Schur-positivo.

Prueba : Por un argumento de densidad podemos suponer $\alpha$ actúa de forma diagonalizada: digamos que $V^{\otimes n} = \bigoplus_{\omega} U_{\omega}$ donde $U_{\omega}$ es el $\omega$ -eigenspace de $\alpha$ . Cada $U_{\omega}$ es una izquierda $\operatorname{GL}(V)$ -módulo desde la izquierda $\operatorname{GL}(V)$ -acción conmuta con $\alpha$ . Sea $X \in \operatorname{GL}(V)$ tienen valores propios $x_1, \ldots, x_n$ . El rastro de $X \times \alpha$ en $V^{\otimes n}$ (es decir, del mapa $z \mapsto Xz\alpha$ ) es, por un lado, $\sum_{\omega} \omega \operatorname{tr}(X|_{V_\omega})$ . Desde $V_\omega$ es un $\operatorname{GL}(V)$ -módulo, $\operatorname{tr}(X|_{V_\omega})$ es un polinomio Schur-positivo en $x_1, \ldots, x_N$ . Por otro lado, $\operatorname{tr}(X \times \alpha) = F(\alpha)$ .

Desde $\mathbb{C}[S_n]$ actúa fielmente en $V^{\otimes d}$ los valores propios de $\alpha$ actuando en $\mathbb{C}[S_n]$ o en $V^{\otimes d}$ son iguales, ignorando la multiplicidad (tal vez el lema pueda modificarse para que funcione directamente en $\mathbb{C}[S_n]$ ?). Hasta factores constantes, $\sum_{u \in R_D} \chi(u)u \sum_{v \in C_D} \psi(v)v$ es el producto de dos idempotentes, que son ambos hermitianos con respecto al producto interior sobre $\mathbb{C}[S_n]$ para los que las permutaciones forman una base ortonormal. El producto de dos matrices semidefinidas positivas tiene valores propios no negativos, por lo que $F(\sum_{u \in R_D} \chi(u)u \sum_{v \in C_D} \psi(v)v)$ es Schur-positivo por el lema.