La teoría del campo conforme no tiene... ¿simetría conforme?

Question

Este post trata de 1+1d. A menudo se dice que la teoría de campo conforme tiene una simetría de dimensión infinita generada por el álgebra de Virasoro: $$[L_n,L_m] = (n-m) L_{n+m} + \frac{c}{12} n (n^2-1) \delta_{n+m,0}.$$ (De forma similar para la rama antiholomórfica con generadores $\bar L_n$ .)

Pero (al menos en la cuantización radial) el hamiltoniano es $H = L_0 + \bar L_0$ . Evidentemente, esto no no conmutan con los generadores anteriores, ya que $[L_n,L_0] = nL_n$ .

En otras palabras, parece que el álgebra de Virasoro funciona como un "álgebra generadora de espectro" (ya que $L_n$ mapea los eigenspaces de $H$ a los eigenspaces de $H$ ), y no como una simetría? ¿He entendido algo mal?

Answer 1

El álgebra de Virasoro es una verdadera simetría de la teoría, en el sentido de que la acción de una teoría de campos conformacional es invariante conformacional si existe, y en el sentido de que los elementos del álgebra mapean soluciones a las ecuaciones de movimiento (cuánticamente: estados propios del hamiltoniano) a soluciones de las ecuaciones de movimiento.

Sin embargo, los generadores no conmutan con el Hamiltoniano porque corresponden a transformaciones dependientes del tiempo. $[Q,H] = 0$ es sólo la condición para una simetría si la simetría no transforma la coordenada temporal - la afirmación para un generador de simetría clásica dependiente del tiempo es $[Q,H] + \partial_t Q = 0$ .

Obsérvese que la simetría infinitesimal clásica la $L_n$ corresponde es $z\mapsto z + \epsilon z^{n+1}$ y como $z$ es una mezcla de coordenadas temporales y espaciales, el generador $L_n = z^{n+1}\partial_z$ depende explícitamente del tiempo y no se puede esperar que los generadores cuánticos conmuten con el Hamiltoniano.

Lo mismo ocurre en una teoría mucho menos confusa: Los generadores de impulso de Lorentz, cuya expresión clásica $t\partial_{x^i} - x^i \partial_t$ también depende explícitamente del tiempo, ¡tampoco conmuta con la componente zerótica del momento -el hamiltoniano-!