Función trigonométrica inversa: Encontrar el valor exacto de $\sin^{-1}\left(\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right)\right)$

Question

$$\arcsin\left(\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right)\right)$$

No puedo utilizar esta fórmula, ¿es correcto? $f(f^{-1}(x))=x$

La respuesta en el libro es $\frac{\pi}{3}$

¿Cómo se aborda la solución de un problema como éste?

La función sin inversa de $\sin\frac{7\pi}{3}$

¿Me estoy diciendo a mí mismo que hubo 7 revoluciones y $\frac{\pi}{3}$ un ángulo correspondiente a $\frac{7\pi}{3}$

Answer 1

Hay que tener en cuenta los rangos restringidos de las funciones trigonométricas inversas. Dado que $\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , quieres $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$ ya que el rango del seno inverso es $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$

Answer 2

Dejemos que $\sin^{-1}\sin\dfrac{7\pi}3=x$ donde $-\dfrac\pi2\le x\le\dfrac\pi2$

$$\implies\sin x=\sin\dfrac{7\pi}3$$

$\implies x=n\pi+(-1)^n\dfrac{7\pi}3$ donde $n$ es un número entero cualquiera

Si $n$ es incluso $=2m$ (decir), $x=2m\pi+\dfrac{7\pi}3=\dfrac{(6m+7)\pi}3\implies -\dfrac\pi2\le\dfrac{(6m+7)\pi}3\le\dfrac\pi2$

$\iff-3\le12m+14\le3\implies-2<-\dfrac{17}{12}\le m\le-\dfrac{11}{12}<0\implies m=-1$

Comprobación de impar $n=2m+1$ (decir)