$$\arcsin\left(\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right)\right)$$
No puedo utilizar esta fórmula, ¿es correcto? $f(f^{-1}(x))=x$
La respuesta en el libro es $\frac{\pi}{3}$
¿Cómo se aborda la solución de un problema como éste?
La función sin inversa de $\sin\frac{7\pi}{3}$
¿Me estoy diciendo a mí mismo que hubo 7 revoluciones y $\frac{\pi}{3}$ un ángulo correspondiente a $\frac{7\pi}{3}$
Hay que tener en cuenta los rangos restringidos de las funciones trigonométricas inversas. Dado que $\sin\left(\frac{7\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$ , quieres $\sin^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=\frac{\pi}{3}$ ya que el rango del seno inverso es $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right).$
Dejemos que $\sin^{-1}\sin\dfrac{7\pi}3=x$ donde $-\dfrac\pi2\le x\le\dfrac\pi2$
$$\implies\sin x=\sin\dfrac{7\pi}3$$
$\implies x=n\pi+(-1)^n\dfrac{7\pi}3$ donde $n$ es un número entero cualquiera
Si $n$ es incluso $=2m$ (decir), $x=2m\pi+\dfrac{7\pi}3=\dfrac{(6m+7)\pi}3\implies -\dfrac\pi2\le\dfrac{(6m+7)\pi}3\le\dfrac\pi2$
$\iff-3\le12m+14\le3\implies-2<-\dfrac{17}{12}\le m\le-\dfrac{11}{12}<0\implies m=-1$
Comprobación de impar $n=2m+1$ (decir)
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