La incrustación compacto (sin fronteras?) n-variedades en la n-dimensional espacio real

Question

Sé que la incrustación de teoremas que permiten incrustar $n$-colectores en $\mathbb{R}^k$, siempre $k$ elegido es lo suficientemente grande. Aquí estoy interesado en la posibilidad de tomar $k=n$ en el caso de los compactos de los colectores.

A partir de la clasificación de las superficies compactas puedo ver que la cerrada no sea incrustado en el plano, y que los que pueden ser incrustados son los discos y anillos, que no vacía de la frontera.

Me gustaría saber si esta intuición es aún suenan en la dimensión $n\geq 3$, así que mi pregunta es: si un compacto colector de dimensión $n$ incrusta en $\mathbb{R}^n$, es forzada a tener un no vacío límite?

He leído el artículo de wiki sobre Whitney incrustación y es en la sección acerca de "un resultado nítido", pero hay que dar una estimación general para toda la clase de los compactos $n$-colectores, mientras que yo estaría interesado en un solo ejemplo de un compacto sin fronteras $n$-colector incrustado en $\mathbb{R}^n$ (posiblemente en dimensiones bajas), o una prueba de referencia o si esto no puede ocurrir nunca. Aviso, yo no estoy interesado en la distinción entre orientable/no-orientable colectores, pero en la presencia de un límite.

Gracias de antemano!

Answer 1

He aquí una alternativa de la prueba que no uso la invariancia del dominio. También le da un poco más fuerte que el resultado.

Teorema:
Deje $M^n$ ser compacto, sin límite. Entonces no hay ninguna inmersión $f:M\rightarrow \mathbb{R}^n$.

Prueba: (croquis). Asumir una contradicción es una $f$. Desde $M$ es compacto, $f$ es un cerrado mapa, es decir, los mapas de conjuntos cerrados de conjuntos cerrados. Para ver esto, vamos a $F\subseteq M$ ser cerrado. Entonces es compacto por $M$ es, por lo $f(F)$ es compacto, por lo tanto cerrado. (Aquí, se acaba de utilizar el hecho de que $f$ es continua).

Además, $f$ es una carta abierta. Que, mapas abiertos a los conjuntos de bloques abiertos. Para ver esto, observe que es suficiente para asignar realmente pequeñas, abiertas a los conjuntos de bloques abiertos porque $f(\bigcup U_i) = \bigcup f(U_i)$.

Es un hecho (una consecuencia del teorema de la función implícita, si mal no recuerdo) que cada inmersión localmente se parece a la inclusión natural $\mathbb{R}^k\rightarrow \mathbb{R}^n$ en el primer $k$ coordenadas. (Para ello se utiliza el boundarylessness de $M$ - si $p$ está en el límite, esta parte no funciona.)

Dicho más precisamente, dada nuestra inmersión $f$ y un punto de $p\in M$, no hay un gráfico de alrededor de $p$ y alrededor de $f(p)$, de modo que en estos gráfico de coordenadas, $f$ se parece a la inclusión.
Ahora, en nuestro caso $k = n$ y, a continuación, la inclusión natural es un homeomorphism. Esto implica abrir establece en estas cartas especiales se asignan a abrir, por lo $f$ está abierto.

Poner esto juntos, hemos visto ahora que el $f$ es abierto y cerrado de asignación. Ahora, ¿qué es $f(M)$? Debe ser compacto, ya $M$ es, pero también debe ser abierto y cerrado en $R^n$ porque $M$ es abierto y cerrado en sí mismo. Esto implica $f(M) = \mathbb{R}^n$ ya que es el único vacío clopen subconjunto de $\mathbb{R}^n$, pero $\mathbb{R}^n$ no es compacto, por lo que hemos llegado a una contradicción.

Answer 2

Me dicen que puede trabajar incluso menos duro que los argumentos que se han propuesto hasta ahora! Deje $M$ ser un cerrado $n$-colector y deje $f : M \to \mathbb{R}^n$ ser un suave mapa. Elegir una coordenada $x : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$. La composición de la $x \circ f : M \to \mathbb{R}$ alcanza un máximo en algún punto de $m \in M$ (compacidad). En este punto $m$, $df$ no puede ser inyectiva (porque su $x$-componente es cero), por lo $f$ no es una inmersión.

Answer 3

El incrustados submanifolds $\emptyset \neq S\subset M$ de codimension $0$ ( $dim M-dimS=0$ ) de un colector $M$ son exactamente los subconjuntos abiertos de $M$ : Lee, Introducción a la suave colectores de la Proposición 5.1, página 99.
De ahí que no compacto si $M$ está conectado y no compacto, que se aplica a $M=\mathbb R^n$.

Answer 4

Supongamos que usted tiene un n-Manifold $M$ incrustado en $\mathbb{R}^{n}$. Por lo tanto, usted puede cubrir su colector con una sola coordenada gráfico: tomar, por ejemplo, la identidad de $I:M\rightarrow \mathbb{R}^{n}$. Tenga en cuenta que esta aplicación es una homeomorphism, así también por la "invariancia del dominio" $I(M)$ es un conjunto compacto tal que $int(M)\neq\emptyset$ donde $int$ denota interior.

Ahora cada conjunto abierto en $\mathbb{R}^{n}$ debe tener un límite, a menos que todo es $\mathbb{R}^{n}$, pero este no es nuestro caso, por lo $M$ no ha vacío límite.