¿Qué colector tiene $\mathbb{H}P^{odd}$ como límite?

Question

Esta pregunta está motivada por ¿Qué variedades están limitadas por RP^impar? (así como una pregunta que me hizo un compañero de posgrado) pero parece que no puedo generalizar ninguna de las respuestas proporcionadas a este escenario.

Permítanme que les ponga en antecedentes. Tomemos todos los grupos de (co)homología con $\mathbb{Z}_2$ coeficientes.

Dada una variedad lisa y compacta $M^n$ , dejemos que $w_i = w_i(M)\in H^i(M)$ denotan las clases de Stiefel-Whitney de (el haz tangente de) M. Sea $[M]\in H_n(M)$ denotan la clase fundamental (mod 2). Consideremos los números de Stiefel-Whitney de $M$ definido como el conjunto de todas las salidas de $\langle w_{i_1}...w_{i_k} , [M] \rangle$ . Por supuesto, esto sólo es interesante cuando $\sum i_{j} = n$ .

Pontrjagin demostró que si $M$ es el límite de alguna colecta compacta n+1, entonces todos los números de Steifel-Whitney son 0. Thom demostró lo contrario - que si todos los números de Stiefel-Whitney son 0, entonces $M$ se puede realizar como un límite de alguna colecta compacta n+1.

Como un rápido aparte, la característica de Euler $\chi(M)$ mod 2 es igual a $w_n$ . Por lo tanto, vemos inmediatamente que si $\chi(M)$ es impar, entonces $M$ NO es el límite de una variedad compacta.

Como corolario inmediato de esto, ninguno de $\mathbb{R}P^{even}$ , $\mathbb{C}P^{even}$ , ni $\mathbb{H}P^{even}$ son límites de variedades compactas.

A la inversa, se puede demostrar que todos los números de Stiefel-Whitney de $\mathbb{R}P^{odd}$ , $\mathbb{C}P^{odd}$ y $\mathbb{H}P^{odd}$ son 0, por lo que todos estos colectores se pueden realizar como límites.

¿Cuál es un ejemplo de colector $M$ con $\partial M = \mathbb{H}P^{2n+1}$ (y por favor, asuma que $n>0$ como $\mathbb{H}P^1 = S^4$ es obviamente un límite)?

La pregunta para $\mathbb{R}P^{odd}$ se responde en el enlace de la parte superior. La pregunta para $\mathbb{C}P^{odd}$ es similar, pero ligeramente más difícil:

Considere las inclusiones (estándar) $Sp(n)\times S^1\rightarrow Sp(n)\times Sp(1)\rightarrow Sp(n+1)$ . La fibra homogénea asociada viene dada por

$$Sp(n)\times Sp(3)/ Sp(n)\times S^1\rightarrow Sp(n+1)/Sp(n)\times S^1\rightarrow Sp(n+1)/Sp(n)\times Sp(1),$$ que probablemente se reconoce mejor como

$$S^2\rightarrow \mathbb{C}P^{2n+1}\rightarrow \mathbb{H}P^{n}.$$

Uno puede "rellenar las fibras" - llenar el $S^2$ a $D^3$ para conseguir un colector compacto $M$ con límite igual a $\mathbb{C}P^{2n+1}$ .

Me encantaría ver $\mathbb{H}P^{odd}$ descrito de manera similar, pero no sé si esto es posible.

Asumiendo que es imposible describir $\mathbb{H}^{odd}$ como en el caso anterior, todavía me gustaría una respuesta en la línea de "si se hace este sencillo proceso a esta clase de espacios de uso frecuente, se obtienen las variedades que se buscan".

Gracias de antemano.

Answer 1

Jason, esto no es una respuesta, sólo una observación. Usando tu fórmula para $p_1$ , $< p_1^{2n+1}, [\mathbb{H}P^{2n+1}]> = (2n-2)^{2n+1} < u,[\mathbb{H}P^{2n+1}]> \neq 0$ si $n>1$ Así que $\mathbb{H}P^{2n+1}$ no puede ser el límite de un orientado múltiple, a diferencia de los ejemplos que das para $\mathbb{R}P^{2n+1}$ y $\mathbb{C}P^{2n+1}$ . La cuestión es que el relleno de fibras esféricas en haces orientados no funcionará.

Por cierto, este es mi primer post en Math Overflow. ¡¡¡Yay!!!

Nota: este post ha sido editado porque el original era muy falso. Yo afirmaba que $\sigma(\mathbb{H}P^{2n+1})=1$ lo cual es una tontería porque la cohomología media es $H^{4n+2}(\mathbb{H}P^{2n+1}) = 0$ . También la firma siendo impar habría contradicho el hecho de que $\chi (\mathbb{H}P^{2n+1})$ es par, lo que se indica en la pregunta.

Answer 2

Un pequeño apunte para ampliar el argumento que di en el hilo anterior (enlazado).

Obtendrá una involución gratuita en $\mathbb CP^{2n+1}$ utilizando el mapa antipodal de fibra para su paquete $$S^2 \to \mathbb CP^{2n+1} \to \mathbb HP^n$$ así que esto también le da $\mathbb CP^{2n+1}$ como el límite de un cilindro cartográfico.

$\mathbb HP^{2n+1}$ No estoy seguro de cómo tratar de forma análoga. Supongo que un lugar para empezar sería tratar de encontrar una involución libre de alguna manera más natural en $\mathbb CP^{2n+1}$ .

Buscando en Google no me queda claro si se sabe o no si $\mathbb HP^{2n+1}$ admite una involución libre.