Ayuda para entender por qué un cambio no funciona en este caso? ( cilindro)

Question

Estoy tratando de resolver un problema que va como sigue:

Halla la ecuación del cilindro circunscrito a la esfera $$x^2+y^2+z^2-2x+4y+2z-3=0$$ con generatriz paralela a la línea: $$x=2t-7, y=-t+7, z=-2t+5.$$

He intentado utilizar la identidad para un cilindro circular con eje: $$x=\alpha t, y=\beta t, z=\gamma t$$ que da la ecuación del cilindro de radio $R:$ $$x^2+y^2+z^2-R^2= \frac{(\alpha x+\beta y+ \gamma z)^2}{\alpha ^2 +\beta ^2 + \gamma ^2}.$$ Para tratar de usar esto, he cambiado las coordenadas de tal manera que el centro de la esfera es el origen, lo que significa que el eje del cilindro será de la forma deseada y entonces puedo simplemente sustituir los valores y luego sustituir mis coordenadas originales, lo que me da: $$(x-1)^2 +(y+2)^2+ (z+1)^2-9= \frac{\left(2(x-1) -(y+2) -2(z+1)\right)^2}{9}$$

La gráfica no me da el cilindro deseado.
¿En qué parte de mi razonamiento he cometido un error?

Answer 1

Obsérvese que la ecuación de la esfera es $(x-1)^2 + (y+2)^2 + (z+1)^2 = 9$ que tiene un radio $3$ y el centro $(1,-2,-1)$ . El eje del cilindro debe pasar por el centro, y debe tener radio $3$ y la altura $6$ . Intenta trasladar la esfera de forma que el centro coincida con el origen, y utiliza una matriz de rotación para forzar que el eje sea el $z$ -eje; calcular la ecuación, que ahora es bastante sencilla, y volver a girar.

Answer 2

Tu razonamiento es sólido. Parece que hay un problema con el software que estás utilizando para trazar estas superficies. Cuando intenté trazar la ecuación de tu cilindro en GeoGebra, por ejemplo, decidió que la superficie era un hiperboloide de una hoja, pero no mostró nada. Sin embargo, después de reordenar la ecuación de varias maneras, finalmente pude conseguir que trazara un cilindro moviendo todo a un lado de la ecuación, expandiéndola completamente y eliminando los denominadores:

Mathematica fue capaz de trazar la ecuación del cilindro sin modificar sin ningún problema.