Dos discos unitarios disjuntos $D_1$ y $D_2$ . Dentro de ellos hay puntos aleatorios de poisson con intensidad $\lambda$ . Para un real dado $r>0$ ¿cuál es la probabilidad de que exista un punto poisson $x_1\in D_1$ y un punto poisson $x_2\in D_2$ tal que $\|x_1-x_2\|_2 \le r$ ? No he podido encontrar ningún resultado al respecto.
Respuesta
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Si $M$ es el $4$ -medida de Lebesgue de $\{(x,y) \in D_1 \times D_2: \|x - y\|_2 \le r\}$ entonces el número de estos pares de puntos es una variable aleatoria de Poisson con parámetro $M \lambda^2$ por lo que la probabilidad de que haya al menos uno es $1 - \exp(-M \lambda^2)$ .
EDIT: Oops, esto está mal. No es Poisson.
EDIT: Consideremos el caso en el que $D_1$ y $D_2$ son segmentos de línea, por ejemplo $[0,1]$ y $[a,a+1]$ donde $a > 1$ . Por supuesto, necesitamos $a-1 < r < a+1$ para que la pregunta no sea trivial. Sea $X$ sea el máximo de los puntos de Poisson en $D_1$ ( $-\infty$ si no hay ninguno) y $Y$ el mínimo de los puntos de Poisson en $D_2$ ( $+\infty$ si no hay ninguno). $X$ y $Y$ son independientes, con densidades $f_X(x) = \lambda e^{-\lambda(1-x)}$ y $f_Y(y) = \lambda e^{-\lambda(y-a)})$ en $[0,1]$ y $[a,a+1]$ respectivamente. Por lo tanto, si $a-1 < r \le a$ $$P(Y - X \le r) = \lambda^2 \int_{a-r}^1 dx \int_a^{x+r} dy\; e^{-\lambda(1-x)} e^{-\lambda(y-a)} = {1 + \left( \lambda\,(a- r-1)-1 \right)\; {{ e}^{\lambda\, \left( a-r-1 \right) }}} $$ mientras que si $a \le r < a + 1$ $$P(Y - X \le r) = (1-e^{-\lambda})^2 - \lambda^2 \int_0^{a+1-r} dx \int_{x+r}^{a+1} dy\; e^{-\lambda(1-x)} e^{-\lambda(y-a)} = 1 - 2 e^{-\lambda} + (1 - \lambda(a-r+1)) e^{\lambda(a-r+1)}$$
