Pruébalo: Si $g(A)$ no es escalar ( $g(A) \neq \lambda I$ ) $\rightarrow$ $g(A)$ no tiene valores propios reales para una matriz dada y el polinomio mínimo

Question

Dado $A \in M_{n x n} (\mathbb R)$ tal que $m_A(x) = x^2 + 1$ (el polinomio mínimo), y que $g \in \mathbb R[x]$ . Prueba: Si $g(A)$ no es escalar ( $g(A) \neq \lambda I$ ) $\rightarrow$ $g(A)$ no tiene valores propios reales

No puedo encontrar la conexión. Así que si $m_A(X)$ es así, es obvio que no tiene valores propios -reales-, ya que el polinomio mínimo incluye todas las raíces del polinomio característico. ¿O estoy entendiendo algo mal?

Answer 1

Sugerencia: Deja que $g(x) = (x^2+1)p(x) + qx + r$ para algún polinomio real $p$ y algunos números reales $q$ y $r$ . Entonces $g(A) = qA + rI$ . Si $g(A)$ no es una matriz escalar, entonces $q\neq0$ .

Answer 2

Datos $(1)$ (Se puede demostrar fácilmente por inducción utilizando $A^2=-I$ ): $A^{2k-1}=\epsilon _1A$ y $A^{2k}=\epsilon_2 I$ , $\forall k\in \mathbb{N},\epsilon_1,\epsilon_2\in\{1,-1\}$

Dejemos que $g(x)=\sum_{i=0}^{n}a_ix^i$ ( $a_i\in R$ )

Utilizando Fact $(1)$ tenemos

$g(A)=aA+bI$ ( $a,b\in R$ y claramente $a\ne 0$ pues entonces $g(A)=bI$ que es imposible)

Así que si $g(A)$ tiene valores propios reales implicará ,

$(aA+bI)v=\lambda v$

$\Rightarrow A=\frac{(\lambda-b)}{a}v$ Esto es imposible ya que $A$ no tiene ningún valor propio real.