Probar que si $f'$ tiene más de $n-1$ ceros, a continuación, $f$ tiene más de $n$ ceros

Question

Es esto una prueba de la correcta?

El problema es el siguiente.

Deje $n$ ser un número natural. Supongamos que la función de $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es diferenciable y que la siguiente ecuación tiene en la mayoría de las $n-1$ soluciones de: $$f'(x)=0, \quad x \in \mathbb{R}.$$ Probar que la siguiente ecuación tiene en la mayoría de las $n$ soluciones de: $$f(x)=0,\quad x \in \mathbb{R}.$$

Mi prueba es:

Deje $f'(x)=0$ tienen soluciones $x_1$, $x_2,\ldots ,x_{n-1}$.

desde $$f'(x_1)=\lim\limits_{{x}\to{x_1}}\frac{f(x)-f(x_1)}{x-x_1} = 0$$ y al hacerlo, $f(x)=f(x_{n-1})$ Por lo tanto,$f(x)=f(x_1)=f(x_2)=\cdots=f(x_{n-1})$.

Deje $x_n$ ser una de las soluciones de $f(x)=0$. $$0=f(x_n)=f(x_1)=f(x_2)=\cdots=f(x_{n-1}),$$ por lo $f(x)=0$ tiene soluciones como $x_1$, $x_2,\ldots, x_n$.

Si no está equivocado, por favor hágamelo saber.

Answer 1

1. Usted no puede simplemente asumir que $f'(x)$ es un polinomio. Que no es dado en el problema, y hay un montón de otras funciones que puede tener un determinado número de ceros. (También, el problema dice que $f'(x)=0$ tiene en la mayoría de las $n-1$ soluciones, no que tiene exactamente $n-1$ soluciones, sin embargo, se asume que tiene este máximo).

2. Incluso si usted sabe que $f'(x)$ es un polinomio, usted no sabe que el grado es en la mayoría de las $n-1$; es posible que un polinomio tenga grado estrictamente mayor que $k$, y, sin embargo, sólo $k$ distintas raíces reales.

3. Es falso que el hecho de que $f'(x_1)=0$ implica que el $f(x_1)=0$.

4. La declaración "y al hacerlo, $f(x)=f(x_{n-1})$" no tiene ningún sentido para mí.

5. Nunca se demostró que hay en la mayoría de las $n$ soluciones a $f(x)=0$.

6. Usted parece creer que los mismos números que son los ceros de la derivada son los ceros de la función original. Esto no es cierto, incluso para los polinomios. $f(x) = x^2 - 3x + 2$ tiene ceros en$x=1$$x=2$, pero el cero de $f'(x) = 2x-3$$x=\frac{3}{2}$.

Así que, yo diría que casi todos los de este argumento es incorrecto.

Sugerencia. Utilizar el Valor medio Teorema de, o el uso del Teorema de Darboux.

He aquí cómo un argumento usando el segundo iría:

Supongamos que los ceros de la derivada se $a_1\lt a_2 \lt\cdots \lt a_{n-1}$. Por el Teorema de Darboux, la derivada no puede cambiar de signo, excepto en los puntos donde es igual a $0$. Eso significa que, por ejemplo, que es siempre positiva o siempre negativa en $(-\infty,a_1)$. Eso significa que $f(x)$ es estrictamente monótona en $(-\infty,a_1)$: estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Cuántos ceros puede estrictamente monótona de la función tienen? Así que, ¿cuántos ceros puede $f(x)$ tiene en $(-\infty,a_1)$?

¿Qué acerca de $(a_1,a_2)$? $(a_2,a_3)$? Etc.

Pero sospecho que usted querrá usar el Valor medio Teorema; el Teorema de Darboux no se cubre a menudo en el análisis básico de los cursos.

Answer 2

Utilizar el valor medio teorema.

Fix $n=3$. (El argumento se generaliza para arbitrario $n \in \mathbb{N}$).

Supongamos $f(x)=0$ tiene más de tres (distinta) de soluciones, decir $x_1 < x_2 < x_3 < x_4$. A continuación, el valor medio teorema (Teorema de Rolle) implica que no existe $c, d, e \in \mathbb{R}$ tal que $x_1 < c < x_2 < d < x_3 < e < x_4$$f'(c)=f'(d)=f'(e)=0$, contradicción.

Answer 3

No estoy claro en lo que estás haciendo, pero su solución se ve mal. Sólo la conclusión de que $f$ es cero en los ceros de $f'$ (ha $n$ de ellos, por cierto) es claramente falso en general. Usted parece estar tratando de hacer alguna variable argumento de punto con $x$, y usando el hecho de que el límite es cero a la conclusión de que los términos son cero.

Una solución válida es darse cuenta de que no es un cero de $f'$ entre dos ceros de $f$ por el valor medio teorema.

Answer 4

Supongamos $f(x)=0$ tiene más de n soluciones y, a continuación, mostrar que, a continuación, $f'(x)=0$ tendría más de $n-1$ soluciones.

Es una prueba por contrapositivo.

En lugar de mostrar que $a\implies b$, demuestra que $\neg b \implies \neg a$.