¿Qué es esencialmente el álgebra abstracta?

Question

En el sentido más básico, ¿en qué consiste el álgebra abstracta?

Wolfram Mathworld tiene la siguiente definición: "El álgebra abstracta es el conjunto de temas avanzados del álgebra que tratan de estructuras algebraicas abstractas en lugar de los sistemas numéricos habituales. Las más importantes de estas estructuras son los grupos, anillos y campos".

Sin embargo, esto me parece, como mínimo, poco informativo. ¿Qué entienden por estructuras algebraicas abstractas? En esta línea, ¿qué son entonces los grupos, los anillos y los campos?

Un amigo me ha dicho que los grupos, esencialmente, son conjuntos de objetos, aunque, esto todavía me deja preguntando qué quiere decir con objetos (explícitamente).

No necesito nada riguroso. Sólo algunas definiciones intuitivas que me orienten.

Gracias.

Answer 1

Aprendemos las matemáticas con los números desde el principio. Aprendemos a aplicar operaciones a los números para obtener nuevos números. Aprendemos las reglas y las consecuencias de esas reglas. Todo esto es bastante sencillo.

Pero las cifras reales no son las únicas que podríamos examinar en detalle. El propiedades de cómo elementos interactuar bajo operaciones es más general, abstracto noción de lo que hacemos con los números cuando hacemos álgebra.

Por ejemplo, tal vez queramos examinar el aspecto de una forma si la giramos. Tal vez dirijas una cadena de suministro, y necesites construir 4 widgets, pero sólo algunos de esos widgets necesitan ser construidos en un determinado orden. ¿Podría reorganizar las cosas para que sean más eficientes? Quizá queramos explorar estructuras que tengan una periodicidad fundamental, como la hora del día.

Con el tiempo, hemos construido conceptos de estructuras a las que pueden pertenecer los elementos y nociones de operaciones sobre estas estructuras. Estas estructuras -grupos, campos, anillos, monoides, módulos, espacios vectoriales, etc. -- no tienen un conjunto natural de reglas. Nosotros inventamos esas reglas (también conocidas como axiomas), pero hemos descubierto que muchos conceptos naturales se adhieren a esas reglas.

Todo esto está muy bien, pero es algo inútil hasta que se aprende el isomorfismo. Explorar qué es un grupo o qué es un anillo está bien. Pero la riqueza del álgebra abstracta proviene de la idea de que se pueden utilizar abstracciones de un concepto que son fáciles de entender para explicar comportamientos más complejos. Sumar horas en un reloj es como trabajar en un grupo cíclico, por ejemplo. O se puede demostrar que los procesos de fabricación son isomorfos a productos de permutaciones de un grupo finito.

El álgebra abstracta es lo que ocurre cuando queremos explorar las consecuencias de las reglas y las propiedades en las colecciones de objetos de cualquier tipo -- ¡de ahí el término "abstracto"!

Answer 2

En el álgebra "concreta" se trabaja con cosas como enteros, números racionales, números reales, números complejos, matrices, cuaterniones, permutaciones, polinomios, transformaciones geométricas (por ejemplo, isometrías, semejanzas, reflexiones, inversiones, proyectividades, etc.), etc., sujetas a operaciones como la suma, la multiplicación y la composición.

En el álgebra "abstracta" se dice "supongamos que tenemos un conjunto de objetos (que pueden ser números, matrices, permutaciones, transformaciones geométricas, etc., pero no diremos cuáles son) y ciertas operaciones (que pueden ser suma, multiplicación, composición, etc, pero de nuevo en ciertos contextos no diremos cuáles son) que se suponen sujetos a ciertas reglas algebraicas, como la conmutatividad, la asociatividad, la distributividad, la existencia o no de elementos de identidad e inversos, el cierre o la falta de cierre, etc.). Luego se deducen consecuencias de esas leyes algebraicas. Los enunciados que dicen que algo es siempre verdadero se deducen de las leyes algebraicas sin tener en cuenta la naturaleza concreta ni de los objetos ni de las operaciones. Las afirmaciones que dicen que algo es no siempre verdaderos se deducen a menudo de ejemplos concretos, que implican números, matrices, polinomios, permutaciones, etc.

En el álgebra abstracta, el ejemplos son concretas, pero las derivaciones de los resultados generales provienen de las reglas del álgebra sin la naturaleza concreta de las operaciones o de las cosas sobre las que operan.

Answer 3

Las matemáticas tienen que ver con los conjuntos. No existe una definición de lo que es un conjunto, pero todos sabemos que los conjuntos están formados por elementos. Muchos problemas de la naturaleza pueden representarse mediante conjuntos, y las relaciones de los elementos en estos conjuntos. La disciplina matemática que estudia las relaciones de los elementos sobre un conjunto dado se llama álgebra. Hay muchas buenas propiedades de las relaciones que puede tener un conjunto, y a partir de esas propiedades clasificamos clases de 'conjuntos con sus relaciones' (estructuras algebraicas) y las llamamos como grupos, anillos ect.

Answer 4

Cuando llegó a aprender matemáticas, ¿qué le mostraron? Por ejemplo, escribíamos muchas ecuaciones en términos de x,y,z y demás, pero esencialmente, lo que tenían en común es que representaban unos números desconocidos.

El álgebra abstracta es un concepto un poco más amplio: aquí (en sentido intuitivo) las letras representan prácticamente cualquier cosa, en lugar de los números. Supongo que podríamos referirnos a este "todo" como "objetos". Entonces, ¿por qué abstracto ? Lo que tienen en común todas las álgebras abstractas es que estudian algunas fundamental propiedades del conjunto de objetos. Descartamos todo lo que no es relevante: por ejemplo, en el estudio de grupos sólo nos concentramos en las propiedades de los grupos; no hay leyes distributivas ni definiciones de suma y multiplicación. Sólo necesitamos una operación binaria sobre un conjunto y asociatividad, inversa e identidad.

Al descartar cualquier característica irrelevante de los objetos, podemos concentrarnos en las propiedades esenciales de los mismos, y todo lo que se derive de estas características esenciales se aplicará a gran cantidad de cosas que tienen estos elementos en común. Este es el poder del álgebra abstracta, sin embargo, al hacer esto, inevitablemente tratamos con cosas más abstractas: por lo tanto, abstractas.

Answer 5

Los otros carteles hicieron un buen trabajo explicando lo que es el álgebra abstracta, así que intentaré ayudarte a entender los grupos. Puedes pensar en un grupo, un anillo, un campo, etc. como un conjunto con una estructura determinada. La intuición suele venir de ejemplos concretos, así que incluiré algunos. (Aclaración: esto no será riguroso en lo más mínimo. Busco la claridad conceptual).

Un grupo es un conjunto junto con una operación binaria que solemos considerar como una multiplicación (o una suma en algunos casos), que satisface ciertas propiedades:

Cierre: si se multiplican dos elementos del conjunto, se obtiene otro elemento del conjunto. Por ejemplo, el conjunto de los números reales positivos junto con la operación de multiplicación ordinaria forma un grupo. Este grupo es cerrado, porque si se multiplican dos números positivos, se obtiene otro número positivo.

La identidad: Hay un elemento en el conjunto llamado identidad que funciona como el 1 (o el 0 en un grupo aditivo). Es decir, si lo multiplicas (sumas) por un elemento obtienes el mismo elemento de vuelta.

Inversores: Hay que tener una forma de volver al punto de partida. Si estás en el grupo de los números reales positivos, el inverso es simplemente el recíproco. Por ejemplo, 1/4 es el inverso de 4. He aquí otro ejemplo. El conjunto de rotaciones del plano, junto con la operación definida por: rotación2 * rotación1 = (hacer primero la rotación 1, luego hacer la rotación 2), es un grupo. Si giro el plano 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj, la inversa es simplemente una rotación de 90 grados en el sentido de las agujas del reloj, lo que te devuelve la identidad.

Asociatividad: Esta puede parecer un poco obvia, pero tiene consecuencias muy importantes. Si tienes elementos a,b,c en tu grupo, entonces a*(b*c)=(a*b)*c. es decir, si multiplicas b*c por a, obtienes lo mismo que si multiplicas c por a*b.

Fuente: A Book of Abstract Algebra, por Charles C. Pinter. Este es un gran libro de introducción, si quieres aprender más.