Raíz cuadrada de fracción continua

Question

Suponiendo que me han dado un número en forma de fracción continua. ¿Existe una forma general de escribir la raíz cuadrada de ese número como pregunta continuada?

Por ejemplo, considere $$1+\sqrt{2} = 2+\frac1{2+\frac1{2+\frac1{2+\dots}}} = [2;2,2,2,2,2,\dots]$$ Su raíz cuadrada tiene, según Mathematica, la forma $$\sqrt{1+\sqrt{2}} = [1; 1, 1, 4, 6, 1, 2, 2, 2, 1, \dots]$$ No veo un patrón aquí. ¿Hay alguno?

Answer 1

Según palabras sabias de Alan Baker, el algoritmo de las fracciones continuas establece una correspondencia biyectiva entre los números irracionales $\theta$ y conjuntos infinitos de enteros positivos $n_0, n_1,n_2....$ .

Por lo tanto, para toda secuencia $\mathcal S$ de enteros positivos sin patrón aparente, hay un irracional $\theta$ cuya expansión en fracciones continuas es $\mathcal S$ . Podría ser tal vez el caso, me refiero a ningún patrón aparente, para $\sqrt{1+\sqrt{2}}$ . ¿Cómo se sabe si hay o no un patrón visible?

Answer 2

No habrá ninguna fracción continuada "no generalizada" con un patrón repetitivo. Estas siempre conducirán a valores de la forma $\frac{P+\sqrt{D}}{Q}$ . Sin embargo, puede haber uno generalizado, que tenga un patrón repetitivo o claro. Generalizado significa que no sólo el $a_j$ puede ser cualquier número natural a partir de 1, pero también la parte del cociente sumada puede tener un numerador desigual a 1. Véase por ejemplo https://en.wikipedia.org/wiki/Continued_fraction para fracciones continuas generalizadas para $\pi$ con un patrón regular.