¿La fórmula de reducción para esto o si es posible resolver esta integral en términos de n?

Question

Si $$I_n=\int_{-\pi}^{\pi}\frac{\sin^2\frac{nx}{2}}{\sin^2\frac{x}{2}}\,dx$$ para $n\in \Bbb Z$ .

Mi intento: Primero conecté $\frac{x}{2}$ como t y luego convertir toda la integral según la sustitución asumida. Entonces como la función es par, entonces cambié los límites de la integral de (- $\frac{\pi}{2}$ y $\frac{\pi}{2}$ ) a (0 y $\frac{\pi}{2}$ ), por lo que finalmente obtuve una forma más simple de esta integral $$4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin ^2({nt})}{\sin^2{t}}\,dt.$$ Luego cambié la variable a x ( $4\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sin^2 ({nx})}{\sin^2{x}}\,dx$ ).
Pero después de esta etapa, no soy capaz de seguir adelante. No soy capaz de resolverlo con integración por partes ni con ninguna otra sustitución adecuada.

La clave de respuesta indica que $I_1, I_2,I_3....I_n $ forma una A.P.

Incluso estoy obteniendo esta respuesta enchufando los respectivos valores de n directamente en la integral.

1. ¿Pero es correcto introducir directamente los valores de n y resolver?
2. ¿Hay alguna manera de simplificar la integral dada a una forma final?
3. ¿O podemos utilizar la fórmula de reducción para demostrar que es un A.P

Answer 1

$$I_n=2\int_{0}^{\pi}\frac{\sin^2 (nx/2)}{\sin^2 (x/2)} dx = \int_{0}^{\pi}\frac{1-\cos nx}{\sin^2(x/2)} dx$$ Toma $$I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{\pi} \frac{\cos(n+1)x-\cos nx}{\sin ^2(x/2)}=\int_{0}^{\pi}\frac{2\sin(n+1/2)x}{\sin(x/2)}dx=J_n$$ Siguiente $$J_{n+1}-J_n=2\int_{0}^{\pi} \cos(n+1)x~dx=0.$$ Por lo tanto, $J_n$ es independiente de $n$ tenemos $J_n=J_0=2\pi$ . Esto significa que $I_n$ forman un PA con diferencia común de $2\pi$ , donde $I_0=0$ . Finalmente obtenemos $I_n=2n\pi$