En el libro 101 problemas de trigonometría El Prof. Titu Andreescu y el Prof. Feng piden que se demuestre el hecho de que $\cos 1^\circ$ es irracional y lo demuestra. La prueba procede por contradicción y utilizando el principio de inducción fuerte. (Problema en Pg:84, 70 en Typeset; solución en Pg:126, 111 en Typeset). Sin embargo, para completarlo, lo adjuntaré aquí:
Prueba de la irracionalidad de $\cos (1^\circ)$
Supongamos, en aras de la contradicción, que $\cos(1^\circ)$ es racional. Ya que, $$\cos(2^\circ)=2\cos^2(1^\circ)-1$$ lo tenemos, $\cos(2^\circ)$ también es racional. Obsérvese que, además, tenemos $$\cos(n^\circ +1 ^\circ)+\cos(n^\circ -1 ^\circ)=2\cos(1^\circ)\cdot \cos(n^\circ)$$ Por el principio de inducción fuerte, esto demuestra que $\cos(n^\circ)$ es racional para todos los enteros $n \geq 1$ . Pero, esto es claramente falso, como por ejemplo, $\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ es irracional, llegando a una contradicción.
Pero, como sugiere mi título, $\sin(1^\circ)$ es irracional, (¡mira la siguiente imagen para ver su valor!) 
¿Existe una prueba tan corta como la anterior o puede alguno de vosotros ayudarme con una prueba que se salte la evaluación real del valor anterior?
Imagen de cortesía: http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm En este enlace se explica cómo evaluar este valor.
Mi siguiente pregunta es
Es $\tan(1^\circ)$ racional y ¿hay alguna prueba breve que afirme o refute su racionalidad?
P.D.: Esto no es una pregunta de deberes.
