$\sin 1^\circ$ es irracional, pero ¿cómo lo demuestro de una manera hábil? Y $\tan(1^\circ)$ es .....

Question

En el libro 101 problemas de trigonometría El Prof. Titu Andreescu y el Prof. Feng piden que se demuestre el hecho de que $\cos 1^\circ$ es irracional y lo demuestra. La prueba procede por contradicción y utilizando el principio de inducción fuerte. (Problema en Pg:84, 70 en Typeset; solución en Pg:126, 111 en Typeset). Sin embargo, para completarlo, lo adjuntaré aquí:

Prueba de la irracionalidad de $\cos (1^\circ)$

Supongamos, en aras de la contradicción, que $\cos(1^\circ)$ es racional. Ya que, $$\cos(2^\circ)=2\cos^2(1^\circ)-1$$ lo tenemos, $\cos(2^\circ)$ también es racional. Obsérvese que, además, tenemos $$\cos(n^\circ +1 ^\circ)+\cos(n^\circ -1 ^\circ)=2\cos(1^\circ)\cdot \cos(n^\circ)$$ Por el principio de inducción fuerte, esto demuestra que $\cos(n^\circ)$ es racional para todos los enteros $n \geq 1$ . Pero, esto es claramente falso, como por ejemplo, $\cos(30^\circ)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ es irracional, llegando a una contradicción.

Pero, como sugiere mi título, $\sin(1^\circ)$ es irracional, (¡mira la siguiente imagen para ver su valor!)

¿Existe una prueba tan corta como la anterior o puede alguno de vosotros ayudarme con una prueba que se salte la evaluación real del valor anterior?

Imagen de cortesía: http://www.efnet-math.org/Meta/sine1.htm En este enlace se explica cómo evaluar este valor.

Mi siguiente pregunta es

Es $\tan(1^\circ)$ racional y ¿hay alguna prueba breve que afirme o refute su racionalidad?

P.D.: Esto no es una pregunta de deberes.

Answer 1

Si lo que quieres es una prueba hábil, nada supera esta prueba de que los únicos casos en los que ambos $r$ y $\cos(r \pi)$ son racionales son donde $\cos(r \pi)$ es $-1$ , $-1/2$ , $0$ , $1/2$ o $1$ .

Si $r=m/n$ es racional, $e^{i \pi r}$ y $e^{-i \pi r}$ son raíces de $z^{2n} - 1$ por lo que son enteros algebraicos. Por lo tanto $2 \cos(r \pi) = e^{i \pi r} + e^{-i \pi r}$ es un número entero algebraico. Pero los únicos enteros algebraicos que son números racionales son los enteros ordinarios. Así que $2 \cos(r \pi)$ debe ser un entero, y por supuesto los únicos enteros en el intervalo $[-2,2]$ son $-2,-1,0,1,2$ .

Answer 2

$\sin(1^\circ) = \cos(89^\circ)$ y como 89 es relativamente primo de 360, la prueba de $\cos 1^\circ$ funciona casi sin cambios.

Más concretamente: Supongamos que $\cos(89^\circ)$ es racional. Entonces, por la misma inducción que antes con cada $1^\circ$ sustituido por $89^\circ$ conseguimos que $\cos(89n^\circ)$ es racional para cada $n\in\mathbb N$ . En particular, dado que $150\times 89=37\times 360+30$ , obtenemos que $$\cos(150\times 89^\circ)=\cos(37\times 360^\circ+30^\circ)=\cos(30^\circ)$$ es racional, una contradicción.

Para $\tan(1^\circ)$ Una ligera variante de la misma prueba funciona. Supongamos que $\alpha = \tan(1^\circ)$ es racional. Entonces $1+\alpha i$ está en $\mathbb Q[i]$ y luego $\tan(n^\circ)$ siendo la relación entre las partes imaginaria y real de $(1+\alpha i)^n$ también es racional. Pero $\tan(30^\circ)$ no es racional, por lo que $\tan(1^\circ)$ tampoco puede serlo.

Answer 3

Puedes probarlo exactamente de la misma manera:

Supongamos por contradicción que $\sin(1^\circ)$ es racional.

Entonces

$$\cos(2^\circ)=1- 2\sin^2(1^\circ) \mbox{is rational}\,,$$

Ahora también puede demostrar que $\cos 4^\circ$ es racional.

Utilizando

$$\cos((2n+2)^\circ)+\cos((2n-2) ^\circ)=2\cos(2^\circ)\cdot \cos((2n)^\circ) \,,$$

se puede demostrar por inducción que $\cos(2n^\circ)$ es racional, y obtienes tu contradicción...

Añadido

Si $\tan(1^\circ)$ es racional, entonces

$$\cos(2^\circ) =\frac{1- \tan^2(1^\circ)}{1+\tan^2(1^\circ)}$$ también es racional...

Alternativamente, si no está familiarizado con esta relación, tenga en cuenta que

$$\cos^2(1^\circ)= \frac{1}{\sec^2(1^\circ)}= \frac{1}{1+ \tan^2(1^\circ)}$$ es racional, por lo que

$$\cos(2^\circ)=2\cos^2(1^\circ)-1$$ es racional.

La primera parte de la prueba termina también esta parte...

P.D. Se puede demostrar por inducción el siguiente resultado: si $\cos(x)$ es racional, entonces $\cos(nx)$ también es racional.

Answer 4

Curiosamente, me encontré con este mismo problema (con respecto a $\tan 1^\circ$ ) ayer.

Supongamos que $\tan 1^\circ$ es racional. Entonces podemos utilizar repetidamente la fórmula $\tan (A+B)=\frac{\tan A+ \tan B}{1- \tan A \tan B}$ para conseguir que $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ es racional también, una contradicción.

Answer 5

(Demasiado largo para un comentario.)

Jack Calcut's artículo da el siguiente resultado:

Corolario : Los únicos valores racionales de $\tan\,k\pi/n$ son $0$ y $\pm1$ .

que se basa en el lema

Lemma principal : Dejemos que $z\neq0$ sea un entero gaussiano. Hay un número natural $n$ tal que $z^n$ es real si $\Re z=0$ , $\Im z=0$ , $\Re z=\Im z$ o $\Re z=-\Im z$ .

Si $\tan\dfrac{k\pi}{n}=\dfrac{q}{p}$ entonces $\dfrac{k\pi}{n}=\arg(p+iq)$ y $k\pi=\arg((p+iq)^n)$ , lo que implica $(p+iq)^n$ es un número entero. Si $(p+iq)^n$ es un número entero, entonces $\dfrac{k\pi}{n}$ es un múltiplo entero de $\pi/4$ por el lema principal. Dado que $\tan$ es $\pi$ -periódico, $\tan\,0=0$ y $\tan\dfrac{\pm \pi}{4}=\pm 1$ se establece el corolario.

---

Para reírme, pregunté Mathematica para las siguientes representaciones radicales explícitas:

$$\begin{split}\sin\frac{\pi}{180}=-\frac1{\sqrt[3]{2}}\left(\frac1{32}+\frac{i}{32}\right)&\left(\sqrt[3]{-1-i\sqrt{3}} \left(1-i\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{10}-2i\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)+\right.\\&\left.\sqrt[3]{-1+i\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}-i\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{10}+2i\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)\right)\end{split}$$

$$\scriptsize \tan\frac{\pi}{180}=-\frac{\sqrt[3]{-1-i \sqrt{3}} \left(1-i \sqrt{3}\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{10}-2i\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)+\sqrt[3]{-1+i\sqrt{3}} \left(\sqrt{3}-i\right)\left(\sqrt{2}+\sqrt{10}+2i\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)}{\sqrt[3]{-1-i\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}+i\right) \left(\sqrt{2}+\sqrt{10}-2i\sqrt{5-\sqrt{5}}\right)+\sqrt[3]{-1+i\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}-i\right) \left(2 \sqrt{5-\sqrt{5}}-i\left(\sqrt{2}+\sqrt{10}\right)\right)}$$