Integración del contorno sobre una espiral

Question

Evaluar $$\int_{\gamma} (z^2-2) \mathrm{d}z$$ donde $\gamma$ es la siguiente curva:

Utiliza dos métodos: el cálculo directo a través de una parametrización de $\gamma$ y el teorema fundamental.

Conozco el teorema fundamental, así que simplemente evalúo $\frac{z^3}{3}-2z$ en $3$ y $0$ los puntos finales de la curva. Mi problema es que no sé cómo parametrizar espirales como esta para el segundo método.

Answer 1

La idea es dejar que el radio varíe con el ángulo, así que prueba algo como $\gamma(t) = cte^{it}$ y encontremos $c$ . Tenemos $\gamma(0) = 0$ y quiero $\gamma(6\pi) = 3,$ Así que..: $$6c\pi e^{6i\pi} = 3 \implies 6c\pi = 3 \implies c = \frac{1}{2\pi}.$$

Tomé $6 \pi$ por el dibujo. Vamos en sentido contrario a las agujas del reloj y dimos tres vueltas. Podríamos utilizar la misma línea de pensamiento para $c_1te^{ic_2t}$ pero no vi cómo cambiar la velocidad podría ayudarnos. Prueba con $\gamma(t) = \frac{t}{2\pi}e^{it}$ Entonces.