Es cierto que la mediana tiene esta propiedad.
Si el número de puntos es impar, entonces la mediana es el sólo número con esta propiedad. Si obtienes una discrepancia allí, entonces o el solucionador es inexacto, o hay un problema con tu entrada.
Sin embargo, si se tiene un número par de puntos, puede haber muchas soluciones igualmente buenas. Supongamos que los puntos están en orden creciente: x1≤x2≤⋯≤x2n . Entonces, para cualquier punto μ∈[xn,xn+1] tenemos 2n∑i=1|xi−μ|=n∑i=1(μ−xi)+2n∑i=n+1(xi−μ)=2n∑i=n+1xi−n∑i=1xi. Hay n términos en los que μ es positivo y n términos en los que μ es negativo, por lo que se cancelan, y no hay dependencia de μ : ¡todos los puntos de esta gama son igual de buenos!
De hecho, todos los puntos de la gama [xn,xn+1] serán las soluciones óptimas. (Si μ>xn+1 , entonces hay más +μ términos que −μ términos, por lo que disminuimos la suma disminuyendo μ . Si μ<xn , entonces hay más −μ términos que +μ términos, por lo que disminuimos la suma aumentando μ .)
La mediana suele definirse como xn+xn+12 en este caso, pero es más probable que un solucionador de LP dé xn o xn+1 como la solución óptima.