Electrodinámica en el espaciotiempo general

Question

Sea $M\cong\mathbb{R}^4_1$ sea el espaciotiempo habitual de Minkowski. Entonces podemos formular la electrodinámica de una manera invariante de Lorentz dando el campo EM $2$ -forma $\mathcal{F}\in\Omega^2(M)$ y reformulando las ecuaciones homogéneas de Maxwell como $$d\mathcal{F} = 0$$ Entonces el lema de Poincaré nos dice que la primera de las dos ecuaciones (es decir. $\mathcal{F}$ es cerrado) implica que $\mathcal{F} = d\mathcal{A}$ para algunos $\mathcal{A}\in\Omega^1(M)$ (es decir $\mathcal{F}$ es exacta). $\mathcal{A}$ es el potencial habitual de ED. Esto nos da automáticamente la simetría Gauge $\mathcal{A}'=\mathcal{A}+d\chi$ para cualquier $\chi\in C^\infty(M)$ .

Mi pregunta es: digamos que queremos tratar la DE en un espaciotiempo general, es decir, cualquier $4$ -manifiesto semirimanniano $(M,g)$ utilizando las mismas ecuaciones de Maxwell. Entonces, si $H^2(M)\neq 0$ (el $2$ nd cohomology group) ya no tenemos que $\mathcal{F} = d\mathcal{A}$ y también perdemos la simetría Gauge, lo que dificultaría las cosas. ¿Cómo se enfoca el problema? ¿Cómo se trata la ED en el espaciotiempo general?

Answer 1

La clave es la famosa observación de Weyl de que la electrodinámica es en realidad (clásica) $U(1)$ -Teoría de la galga. Concretamente:

1. Usted generaliza el global $1$ -forma $\mathcal{A}$ en $M$ a una conexión $\nabla$ en un haz de líneas hermitiano $\mathcal{L} \to M$ que puede localmente puede escribirse como $d + \mathcal{A}$ para $\mathcal{A}$ la llamada conexión $1$ -forma.
2. El diferencial $\mathcal{F} := d\mathcal{A}$ del global $1$ -forma $\mathcal{A}$ se sustituye por la curvatura $$\mathcal{F} := d\mathcal{A} + \mathcal{A} \wedge \mathcal{A} = d\mathcal{A}$$ de la conexión $\nabla$ que sigue siendo un global $2$ -y sigue satisfaciendo $d\mathcal{F} = 0$ por la identidad de Bianchi aplicada a una conexión sobre un haz de líneas.
3. En este contexto, la simetría gauge sigue siendo válida para la curvatura $2$ -forma $\mathcal{F}$ no cambia si sustituye $\nabla$ por $\nabla + df$ para $f \in C^\infty(M)$ .

Todo esto, por supuesto, encaja muy bien con su observación sobre $H^2(M)$ para la asignación $$ (\text{line bundle $ \a M $}) \mapsto (\text{curvature $ 2 $-form $ \. $ of a connection $ \nabla $ on $ \. $}) $$ induce un homomorfismo $$ \operatorname{Pic}(M) \to H^2_{\mathrm{dR}}(M) \cong H^2(M,\mathbb{R}), $$ donde el grupo Picard $\operatorname{Pic}(M)$ es el grupo abeliano de clases de isomorfismo de haces de líneas sobre $M$ con $$ [\mathcal{L}] + [\mathcal{L}^\prime] := [\mathcal{L} \otimes \mathcal{L}^\prime], \quad -[\mathcal{L}] := [\mathcal{L}^\ast]; $$ entonces $H^2(M,\mathbb{R}) = 0$ si y sólo si cada $2$ -formar en $M$ es exacta (es decir, $\mathcal{F} = d\mathcal{A}$ para algunos $1$ -forma $\mathcal{A}$ ), si y sólo si todo haz de líneas es trivial o de torsión (de modo que, necesariamente, $\nabla = d + \mathcal{A}$ para una $1$ -forma $\mathcal{A}$ ). En el momento en que $H^2(M,\mathbb{R}) \neq 0$ Sin embargo, se tienen haces de líneas no triviales y cerrados no exactos. $2$ -formas, por lo que realmente necesita para considerar su espacio-tiempo $M$ junto con un haz de líneas potencialmente no trivial $\mathcal{L} \to M$ .

Addenda

1. El grupo de cohomología $H^2(M,\mathbb{R})$ contiene una copia isomorfa de $H^2(M,\mathbb{Z})/\operatorname{Tor}(H^2(M,\mathbb{Z}))$ (a través de la UCT) como un entramado. Es una consecuencia no trivial de la teoría de Chern-Weil que nuestro homomorfismo $\operatorname{Pic}(M) \to H^2(M,\mathbb{R})$ no sólo mapea en esta red sino que recupera la clase de Chern $\operatorname{Pic}(M) \to H^2(M,\mathbb{Z})$ módulo de torsión.

2. Dado un haz de líneas $\mathcal{L}$ una conexión $\nabla$ en $\mathcal{L}$ es el potencial de galga de un campo electromagnético en ese sector topológico, y la curvatura $\mathcal{F}$ de $\nabla$ es el intensidad de campo de ese campo electromagnético.

3. La clase del haz de líneas $\mathcal{L}$ en $\operatorname{Pic}(M) \cong H^2(M,\mathbb{Z})$ se denomina carga topológica o defecto topológico . Si $H^2(M,\mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$ entonces, en unidades adecuadas, el número entero correspondiente a $[\mathcal{L}]$ puede interpretarse como un carga monopolar à la Dirac. En efecto, el monopolo de Dirac puede interpretarse como una cierta conexión sobre un cierto haz de líneas no trivial sobre $M = \mathbb{R}^{1,3} \setminus \text{(timelike worldline)}$ .