Comprobar si una transformación lineal contiene una cizalla

Question

Estoy usando este de una pregunta anterior al intentar extraer la matriz de transformación de un conjunto de puntos a otro. La principal diferencia es que utilizo coordenadas homogéneas. Por ejemplo, considere que tengo el siguiente conjunto de puntos: $(1,1), (1,3), (2,1)$ y $(1,1), (5,1), (5,3)$

Por lo tanto, tengo $$ X= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1\\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ y $$ X'= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 5 & 1 & 1\\ 5 & 3 & 1 \end{pmatrix}. $$

Cuando pongo esto en la ecuación del enlace obtengo mi matriz de transformación $T$ como:

$$ T= \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0\\ 2 & 0 & 0\\ -5 & -1 & 1 \end{pmatrix} $$

Mi pregunta es cómo puedo comprobar si la transformación incluye una cizalla o no.

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Puedo suponer un escalamiento uniforme.

Basado en el hecho de que puedo asumir una escala uniforme y este pregunta, ¿se trata de comprobar si la longitud de los vectores de la columna de la izquierda es la misma? (¿después de extraer los componentes de traslación?)

Answer 1

Ignorando cualquier traslación, su transformación aplica el vector unitario $(\cos\theta,\sin\theta)$ a $(4\cos\theta+2\sin\theta,2\cos\theta)$ . Este último no tiene una longitud constante.

Answer 2

Sí, tu función está sesgada (cizallamiento) aunque no puedo precisarlo en tu matriz.

Sus puntos originales se mapean en un plano cartesiano algo así:

Sus puntos transformados son algo así:

Si sus puntos siguen todos un singular, misma transformación para todos ellos, entonces podrían ser considerados como un todo:

En la imagen de arriba, el triángulo verde se está transformando en el rojo. El triángulo que aparece en la imagen anterior demuestra que el plano triangular se está estirando, ya que uno de los puntos permanece igual mientras los otros cambian, lo que significa que tiene que cizallarse.

Otra forma de demostrar que tu gráfica está cizallada: Puedes ver que para $y = 1$ se transforma en $y = 1$ en su primer punto, sino también a $y = 3$ en su tercer punto. Esto no es físicamente posible con una sola ecuación lineal para ambos puntos a la vez.

Encontrar la transformación de cizalla: No sé cómo encontrarla en una matriz de 3x3 pero usando una matriz de 2x2 se puede cizallar una función aplicando la siguiente transformación matricial:

$$T \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & m \\ k & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$

donde, $\begin{bmatrix} 1 & m \\ k & 1 \end{bmatrix}$ es la transformación de cizallamiento ( m = cizallamiento horizontal, k = cizallamiento vertical).

A partir de aquí, sugiero crear 3 ecuaciones simultáneas a partir de los 3 puntos, ya que las matrices lineales se pueden expresar como sistema de ecuaciones, para resolver sus variables de cizallamiento, $m \text{ and } k$ .