Necesito demostrar que cualquier subconjunto convexo de $R^k$ está conectado. He visto la prueba en el libro de Rudin y en numerosos sitios web, pero todos ellos utilizan algunos resultados anteriores. Quiero hacerlo sin utilizar resultados en los que se establece algo para alguna otra cuestión y luego se utiliza el resultado para demostrar esto.
Respuesta
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Jonas Gomes
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Primero un lema preliminar:
Lema : Si $\mathcal{F}$ es una familia de conjuntos conexos tal que $\bigcap \mathcal{F} \neq \emptyset$ entonces $\bigcup \mathcal{F}$ está conectado, ya que, si $\bigcup \mathcal{F}$ no es conexo, entonces se puede escribir como la unión de dos subconjuntos abiertos disjuntos $X$ y $Y$ . Sea $x \in \bigcap{F}$ . Supongamos que $x \in X$ Así que si $y \in Y$ entonces hay $F \in \mathcal{F}$ tal que $y\in F$ así que $F = (A\cap F) \cup (B\cap F)$ lo cual es una contradicción, ya que $A$ está abierto en $\bigcup \mathcal{F}$ , $A \cap F$ está abierto en $F$ y $B \cap F$ está abierto en $F$ .
Ahora, el problema:
Dejemos que $X\subset M$ sea un subconjunto convexo no vacío y que $a \in X$ . Sea $L_v = \{x \in X \ |\ x = y + \lambda \ v$ para algunos $\lambda \in \mathbb{R} \}$ . Como $X$ es convexo, $$X = \bigcup_{\|v\|=1} L_v$$
Queda por demostrar que cada $L_v$ está conectado, pero como $L_v$ es homeomorfo a algún intervalo real (porque $X$ es convexo), $L_v$ también está conectado. Y como $\{a\} \subset \bigcap_{\|v\|=1} L_v $ el lema se aplica y por lo tanto $X$ está conectado.
