Probabilidad condicional continua

Question

Supongamos que tenemos la densidad condicional de la variable aleatoria continua $X_{1}$ con la condición de que $X_{2}=x_{2}^{0}$ donde $x_{2}^{0}$ es algún número. Entonces: $$f(X_{1}|X_{2}=x_{2}^{0})=\frac{f(X_{1},X_{2}=x_{2}^{0})}{f_2(X_{2}=x_{2}^{0})}$$

Mi pregunta se refiere a la expresión $f_2(X_{2}=x_{2}^{0})$ que es igual a $0$ . En mi libro de texto se explica de tal manera que $X_{2}=x_{2}^{0}$ tal que $x_{2}^{0} \epsilon\ B$ donde $B$ es un subconjunto de $R$ en el que $f(x_{2})>0$ y $f(x_{2})=0$ para $x$ no en B. Así que mi intuición es que $B$ es un intervalo infinitesimal alrededor del punto $x_{2}^{0}$ . Pero entonces, si $x_{2}^{0}$ es un intervalo no un punto, podemos escribir $X_{2}=x_{2}^{0}$ ?

Answer 1

Como ya han señalado otros, el enigma al que te enfrentas se debe a que estás confundiendo la probabilidad con el densidad .

Recordemos que tenemos un espacio de probabilidad $(\Omega, \mathscr{F}, P)$ y $X_2:\Omega \to \mathbb{R}$ . Para algún evento $A \in \mathscr{F}$ podemos expresar la relación integral entre la densidad de probabilidad y la propia probabilidad como $$P(\{\omega \in \Omega : X_2(\omega) \in A\})\ \overset{\text{shorthand}}{=}\ P(X_2 \in A) = \int_A f_2(x_2)dx_2$$

Por ejemplo, dejemos que el evento sea $A=[-10,12.4]$ entonces $$P(X_2 \in [-10,12.4]) = \int_{-10}^{12.4} f_2(x_2)dx_2$$

Si el evento es $A=\{3\}$ entonces podríamos decir, $$P(X_2 \in \{3\}) = \int_{3}^{3} f_2(x_2)dx_2 = 0$$ pero esto sí no implican que $f_2(x_2) \equiv 0$ o que $f_2(3)=0$ .

Puede facilitar la confusión si sólo pone variables aleatorias (mayúsculas) como argumentos de $P$ y sólo "muestras" (realmente variables ficticias, en minúsculas) como argumentos de $f$ . Diciendo $f_1(X_1)$ es raro, pero $f_1(x_1)$ no lo es.

Answer 2

Si tiene caravanas continuas $X_1,X_2$ con función de densidad conjunta $ f_{X_1X_2}(x_1,x_2)$ entonces se puede definir la densidad conjunta condicional dada $X_2 = x_2^0$ como $$ f_{X_1|X_2}(x_1|x_2^0) = \frac{f_{X_1X_2}(x_1,x_2^0)}{f_{X_2}(x_2^0)} $$ donde $f_{X_2}(x_2)$ es la densidad marginal de $X_2,$ dado por $\int_{-\infty}^\infty f_{X_1X_2}(x_1,x_2)dx_1.$

De este modo, todo está en términos de densidades.

Tienes razón en que no tiene mucho sentido escribir $f_2(X_2=x_2^0).$ En general no soy fan de la notación que utilizas porque confunde las variables aleatorias con las variables que les corresponden en las funciones de densidad.

Una notación que he visto y que se parece a lo que dice tu libro es escribir la función de densidad conjunta como $P(X_1\in dx_1,X_2\in dx_2).$ En esta notación $dx_1$ se refiere a un intervalo infinito alrededor de $x_1$ y de forma similar para $x_2.$ Esto describe bastante bien lo que es una función de densidad.