Monedas sesgadas que se distribuyen uniformemente

Question

Tengo una bolsa que contiene monedas, estas monedas podrían ser monedas sesgadas, y cada moneda tiene una cierta probabilidad predeterminada de cara/cara (independientemente de las otras monedas). Esta probabilidad predeterminada se deriva de una distribución uniforme sobre $[0,1].$

Saco una moneda al azar y la tiro hasta obtener una cola, luego la tiro y saco otra moneda y la tiro una y otra vez hasta obtener una cola, y así sucesivamente.

Entonces la distancia esperada entre colas consecutivas viene dada por: $$\int_0^1 \frac{1}{1-p}\cdot1\,dp$$ donde $p$ es la probabilidad de obtener una cabeza, $1$ es la densidad del uniforme $[0,1],$ $\frac{1}{1-p}$ es el valor esperado de la geometría con probabilidad de éxito $p.$

No entendí cómo caracterizamos lo anterior a partir de la distancia esperada entre colas consecutivas para estar en la forma mostrada arriba. ¿Alguien sabe cuál es la lógica para llegar a la integral anterior? Gracias.

Answer 1

Una pista: Calcule el número esperado de lanzamientos necesarios para obtener una cola utilizando una moneda única sesgada cuya probabilidad de producir una cabeza es $p$ .