Problemas matemáticos abiertos que los estudiantes de secundaria pueden entender

Question

Pido a la gente que enumere algunos problemas abiertos medianamente y/o muy famosos que los estudiantes de secundaria, quizás con suficiente formación matemática de concurso, puedan entender, clasificados por categorías como en arxiv.org. Por favor, incluya el enunciado de los teoremas, si es posible, y si hay términos específicos, por favor, indique lo que significan.

Gracias.Soy bastante curioso para saber sobre ellos y me hice esta pregunta después de ver cómo Andrew J.Wiles estaba fascinado por el último teorema de Fermat en el instituto.

Answer 1

Conjetura de Goldbach (math.NT)

Un número entero par es un número entero positivo, que es divisible por $2$ .

La conjetura de Goldbach afirma que $$\text{"Every even integer greater than $ 2 $ can be expressed as the sum of two primes."}$$

Por ejemplo, $4= 2 + 2$ , $6 = 3 + 3$ , $8 = 5 + 3$ , $10 = 7 + 3$ , $12 = 7 + 5$ y así sucesivamente.

Conjetura de los primos gemelos (math.NT)

Un número entero primo positivo es aquel que sólo es divisible por $1$ y a sí mismo. Los primos gemelos son los primos que difieren en $2$ . Por ejemplo, $(5,7)$ , $(11,13)$ , $(17,19)$ , $(101,103)$ son todos ejemplos de primos gemelos.

La conjetura de los primos gemelos plantea la siguiente pregunta $$\text{"Are there infinitely many twin primes?}"$$

El primo de Mersenne (math.NT)

Un primo de Mersenne es un primo de la forma $2^n-1$ . Por ejemplo, $31$ es un primo de Mersenne, ya que $31 = 2^5-1$ . De la misma manera, $127 = 2^7-1$ también es un primo de Mersenne.

Es fácil demostrar que si $2^n-1$ es un primo, entonces $n$ tiene que ser un primo. Sin embargo, lo contrario no es cierto.

La conjetura del primo de Mersenne plantea la siguiente pregunta

$$\text{"Are there infinitely many Mersenne primes?"}$$

Números perfectos (math.NT)

Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores positivos propios, es decir, la suma de sus divisores positivos excluyendo el propio número. Los primeros números perfectos son $$6 = 1 + 2 + 3$$ $$28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14$$ $$496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248$$ Hay dos conjeturas interesantes sobre los números perfectos. La primera pregunta es $$\text{"Are there infinitely many perfect numbers?"}$$ El segundo pregunta $$\text{"Are there any odd perfect numbers?"}$$ Euler demostró que $2^{p-1} \left(2^p-1 \right)$ , donde $2^p-1$ es un primo de Mersenne, genera todos los números perfectos pares. Obsérvese que si se demuestra que la conjetura del primo de Mersenne es cierta, esto implicará también la primera conjetura sobre los números perfectos.

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EDITAR

Este hilo de MO también es relevante.

Answer 2

Puede incluir Conjetura de Legendre (Math.NT)

Hay al menos un número primo entre dos números cuadrados consecutivos cualquiera.

Creo que esto es fácil de entender, y atractivo porque no es difícil de verificar para números pequeños.

Answer 3

El problema matemático abierto más elemental que conozco es la conjetura de Collatz .

Empieza con un número natural. Si es par, divide por dos, si es impar, multiplica por tres y suma uno. Repite esta operación, deteniéndote sólo cuando obtengas un valor de uno.

La conjetura es que siempre se llega a 1 eventualmente, sin importar el número inicial.

Answer 4

Conjetura de Singmaster dice que hay un límite superior finito en el número de veces que un número (distinto del $1$ s en el borde) pueden aparecer en el triángulo de Pascal. El límite superior puede ser tan bajo como $8$ . Si es así, entonces ningún número (además de los $1$ s) aparece más de ocho veces en el triángulo de Pascal. Sólo se conoce un número que aparezca tantas veces: $$\binom{3003}{1} = \binom{78}{2} = \binom{15}{5} = \binom{14}{6}$$

Se ha demostrado que infinitos números aparecen dos veces; de forma similar, tres veces, cuatro veces y seis veces. Se desconoce si algún número aparece cinco o siete veces.

Singmaster afirma que Erdős dijo que la conjetura es probablemente cierta, pero probablemente difícil de probar.

Answer 5

(math.DS) La existencia de órbitas periódicas de un billar en un triángulo no se conoce en general, aunque algunos casos especiales (por ejemplo, los triángulos agudos) son sencillos.

Un punto se desplaza con velocidad unitaria en el interior del triángulo, rebotando en los lados según la regla habitual de la óptica geométrica: el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. La cuestión es si siempre existe una trayectoria que sea periódica, es decir, que haga un bucle sobre sí misma.

Esta pregunta que parece sencilla se adentra rápidamente en el territorio de la investigación con superficies de traslación, billares poligonales, la dicotomía de Veech... Y utiliza ideas de las superficies de Riemann (y por tanto de la geometría algebraica y el análisis complejo) y de la teoría ergódica.

El libro "Geometría y Billar" de Tabachnikov es un buen punto de partida para el billar en general, pero probablemente sea demasiado para estudiantes de secundaria.