Funciones ortogonales a las potencias de $1/{\left(1+x^2\right)}$

Question

Dejemos que $f,g:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ sean funciones continuas con las siguientes propiedades:

1. $f(x)$ y ${g(x)}/x$ están acotados;
2. ${g(x)}/{\left(1+x^2\right)}\in L^1\left(\mathbb{R}\right)$ ;
3. $\lim_{x\to0}f(x)/x^2=1$ ;

y también $$\int_{-\infty}^\infty\frac{f(x)}{\left(1+x^2\right)^p}dx=p\int_{-\infty}^{\infty}\frac{g(x)}{\left(1+x^2\right)^p}dx$$ para todo número real $p\geq1$ .

¿Cómo de especial es la pareja $\left(f,g\right)$ ?

Answer 1

Dejemos que $\tilde{f}(x) = f(x)+f(-x)$ y $\tilde{g} (x) = g(x)+g(-x)$ y que $F(x) = \int_{0}^{x} \tilde{f}(t)dt$ . Entonces su condición se puede reescribir como (después de la integración por partes en el lado izquierdo) $$ \int_{0}^{\infty} \frac{2xF(x)-\tilde{g}(x) (1+x^{2})}{1+x^{2}} (1+x^{2})^{-p}dx =0 $$ para todos $p\geq 1$ .

Ahora puedes utilizar el mismo argumento de la densidad desde aquí Función ortogonal a las potencias de $1/\left(1+x^2\right)$

(Obsérvese que $\frac{2xF(x)-\tilde{g}(x) (1+x^{2})}{1+x^{2}} \cdot \frac{1}{1+x^{2}}\in L^{1}([0, \infty))$ para concluir que $\frac{2xF(x)}{1+x^{2}} = \tilde{g}(x)$ en $[0,\infty)$ .