Raíz cuadrada de la suma de sinusoides con diferentes frecuencias

Question

En el análisis de circuitos se afirma que el valor RMS (Root Mean Square) de una forma de onda que consiste en una suma de sinusoides de diferentes frecuencias, es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los valores RMS de cada sinusoide . Por lo tanto, si

$$i(t)=I_0+I_1\cos(w_1t+\theta_1)+I_2\cos(w_2t+\theta_2)+....+I_n\cos(w_nt+\theta_n)$$

entonces el valor eficaz de i(t) es igual a

$$I_{RMS}=\sqrt{I_{0\;RMS}^2+I_{1\;RMS}^2+....+I_{n\;RMS}^2}$$

Sin embargo, no se ofrece una prueba y sí la fórmula RMS:

$$I_{RMS}=\sqrt{\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}i^2(t)dt}$$

Según Período de la suma de sinusoides si las relaciones de frecuencia son irracionales, el periodo puede llegar a ser infinito. Esto es lo que he hecho considerando este hecho (sólo para dos términos):

$$I_{RMS}^2=\lim_{T \to \infty}\frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}(I_1\cos(w_1t+\theta_1)+I_2\cos(w_2t+\theta_2))^2dt$$

$$I_{RMS}^2=\lim_{T \to \infty}\left( \frac{I_1^2}{2}\cos(2\theta_1)\frac{\sin(w_1T)}{w_1T}+\frac{I_1^2}{2}+\frac{I_2^2}{2}\cos(2\theta_2)\frac{\sin(w_2T)}{w_2T}+\frac{I_2^2}{2} \right)=\frac{I_1^2}{2}+\frac{I_2^2}{2}$$

Desde $I_{1\;RMS}=I_1/\sqrt2$ , $I_{2\;RMS}=I_2/\sqrt2$ .... el resultado es el esperado:

$$I_{RMS}^2=I_{1\;RMS}^2+I_{2\;RMS}^2$$

Sin embargo, mi solución se basa en la suposición de que el período total es infinito. ¿Cómo podemos demostrar que la afirmación anterior es cierta cuando todas las frecuencias son múltiplos enteros entre sí? En este caso el periodo total debería ser finito.

Answer 1

En su configuración, suponga que hay un período $T_0$ como $$ \omega_i = \frac {2\pi}{p_i T_0} $$ para números enteros distintos $p_1, \dots , p_n$ .

El cuadrado de la señal es entonces $$ I_0^2 + I_1^2\cos^2(\omega_1t + \theta_1) + \dots + I_n^2\cos^2(\omega_nt + \theta_n) + \text{ cross products} $$

En este caso un periodo de la señal es $T = p_1\dots p_nT_0$ .

1. Ocupémonos de los productos cruzados, que no contribuyen al total: $$ \int_0^T \cos(\omega_it + \theta_i) \cos(\omega_jt + \theta_j) dt \\= \frac12 \int_0^T \left[ \cos(\omega_it + \theta_i + \omega_jt + \theta_j) + \cos(\omega_it + \theta_i - \omega_jt - \theta_j) \right] dt \\= \frac12 \left[ \frac{\sin(\omega_it + \theta_i + \omega_jt + \theta_j)} {\omega_i + \omega_j} + \frac{\sin(\omega_it + \theta_i - \omega_jt - \theta_j)} {\omega_i - \omega_j} \right]_0^T = 0 $$ aquí lo importante es que $\omega_i\neq \omega_i$ cuando $i\neq j$ .

2. Ahora, para los cuadrados, el cálculo es el mismo: $$\int_0^T I_i^2\cos^2(\omega_it + \theta_i) dt =\frac12 I_i^2 \int_0^T \left[ \cos(2\omega_it + 2\theta_i ) + \cos( 0) \right] dt = \frac12 I_i^2 T $$ como $\cos(0) = 1$ .

Ahora divide por $T$ y sacar la raíz cuadrada: se encuentra que $$I_{RMS}^2= I_0^2 + \sum_{i=1}^n \frac 12 I_i^2$$