Ejercicio 9 Capítulo II, Teoría de conjuntos de Kunen (1983)

Question

El ejercicio es el siguiente:

Dejemos que $\mathcal{B}\subseteq \mathcal{P}(\omega)$ sea una familia casi disjunta de tamaño $\kappa$ , donde $\omega\le\kappa<2^\omega$ . Sea $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$ con $|\mathcal{A}|\le\omega$ . Suponiendo que MA ( $\kappa$ ), demostrar que existe un $d\subseteq \omega$ tal que $\forall x \in \mathcal{A}(|d\cap x|<\omega)$ y $\forall x \in \mathcal{B}\setminus\mathcal{A}(|x\setminus d| < \omega)$

Una consecuencia más o menos directa de MA ( $\kappa$ ) es una afirmación similar, en la que abandonamos la hipótesis $|\mathcal{A}|\le\omega$ y requieren precisamente eso $\forall x \in \mathcal{B}\setminus\mathcal{A}(|x\cap d| = \omega)$ .

Intenté usar esta declaración similar, pero no llego mucho más lejos. En particular, tengo un problema en el uso de una manera inteligente tanto las hipótesis sobre la contabilidad de $\mathcal{A}$ y MA . Siendo más específicos, la capacidad de $\mathcal{A}$ me induce a usar primero MA y luego "ajustar" lo que he encontrado añadiendo \subtracting elementos a \from $d$ iterando sobre $\mathcal{A}$ (por ejemplo, mediante un argumento diagonal). ¿Podría darme una pista? Gracias

EDIT: Empiezo a preguntarme si es solucionable..

Answer 1

Parece que esa afirmación similar no es realmente útil para su problema; normalmente se deriva aplicando $MA$ a un forzamiento de codificación casi disjunto, mientras que su problema puede resolverse aplicando $MA$ a Hechler forzando en cambio lo siguiente:

Vamos a escribir $\mathcal A$ como $\langle a_n\mid n<\omega\rangle$ (con posibles repeticiones si $\mathcal A$ es finito). Para cualquier $b\in\mathcal B\setminus\mathcal A$ podemos elegir una función $f_b:\omega\rightarrow\omega$ tal que $$a_n\cap b\subseteq f_b(n)$$ para cualquier $n$ . Al aplicar $MA$ al forzamiento de Hechler, encontramos una función $f_\ast:\omega\rightarrow\omega$ que finalmente domina cualquier $f_b$ es decir, hay un $l_b<\omega$ s.t. para todos $l_b\leq n<\omega$ tenemos $f_b(n)<f_\ast(n)$ . Ahora pon $$d=\bigcap_{n<\omega}\omega\setminus(a_n\setminus f_\ast(n))$$ es decir $d$ es el subconjunto de $\omega$ que tiene el segmento final de $a_n$ por encima de $f_\ast(n)$ eliminado para todos $n<\omega$ . Conseguimos de forma gratuita que $d\cap a_n\subseteq f_\ast(n)$ y por tanto es finito para cualquier $n$ . Para la otra propiedad, persiguiendo las definiciones es fácil ver que $b\setminus d\subseteq l_b$ y por lo tanto es finito, para cualquier $b\in\mathcal B\setminus \mathcal A$ .