Convergencia casi segura de la suma de una serie de variables aleatorias no idénticas

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de v.r. $Y_n$ para $n\geq 0$ . Supongamos que $\mathbb{P}(Y_n=1)=\mathbb{P}(Y_n=-1)=\frac{1}{2^{n+1}}$ y $\mathbb{P}(Y_n=0)=1-\frac{1}{2^{n}}$ . Tenemos $X_n=\sum_{t=1}^n (\frac{1}{4})^{n-t} Y_{t-1}$ para $n\geq1.$ $Y_1,Y_2,\cdots$ son independientes.

Me pregunto si $X_n\rightarrow 0$ casi seguro Tal vez no lo sea. No sé cómo demostrarlo. ¿Puede Borel-cantelli ayudar aquí?

Answer 1

Tenemos $E(X_n)=0$ y asumiendo que las variables aleatorias son independientes, $$\begin{split} E(X_n^2)&=\sum_{t=1}^n \left(\frac 1{16}\right)^{n-t}E(Y_{t-1}^2)\\ &=\sum_{t=1}^n \left(\frac 1{16}\right)^{n-t}\frac 1{2^{t-1}}\\ &=\left(\frac 1 {16}\right)^{n-1}\sum_{t=1}^n \left(\frac 1{16}\right)^{1-t}\frac 1{2^{t-1}}\\ &=\left(\frac 1 {16}\right)^{n-1}\frac{8^n-1}7 \end{split}$$ Así que $E(X_n^2)\rightarrow 0$ . Utilizando La desigualdad de Markov se puede ver que para cualquier $a>0$ , $$P(X_n^2>a) \rightarrow 0$$ De lo cual se puede concluir la convergencia a $0$ casi seguro.

Answer 2

Con Borel-Cantelli, se demuestra que existe una variable aleatoria de valor entero $N$ de tal manera que casi con seguridad, $\forall n \geq N,\,Y_n=0$ .

Entonces, casi con seguridad, para todos $n \geq N$ , $X_n \leq 4^{-n}\sum_{t=0}^N{4^{t+1}|Y_t|} \leq 4^{-n+N+2}$ .

Así, $X_n \rightarrow 0$ casi seguro.

Answer 3

$ \sum\limits_{k=1}^{\infty} P\{Y_n \neq 0\}<\infty$ . Por lo tanto, $Y_n=0$ eventualmente con probabilidad $1$ . Desde $|(\frac 1 4) ^{n-t}| \leq 1$ vemos que $X_n$ es Cauchy, por lo que converge con casi total seguridad. Ahora se combina con la respuesta de Stefan Lafon para concluir que el límite es casi seguro $0$ .