Hace $P(f(X) \leq x) = P(X \leq f^{-1}(x))$ ¿tiene en general?

Question

Digamos que tenemos una función invertible $f(x)$ ¿es siempre cierto que

$$P(f(X) \leq x) = P(X \leq f^{-1}(x))$$ ?

Si no es así, ¿qué propiedades tiene $f$ ¿necesita tener para que esta igualdad se mantenga?

Answer 1

No necesariamente, $f = -x$ no funcionaría. Tiene que ser creciente. De lo contrario, la desigualdad "daría la vuelta", por ejemplo.
Más formalmente, $f(x) \leq y \iff x\in f^{-1}(-\infty,y)$ y quieres $f^{-1}(-\infty,y) = (-\infty,f^{-1}(y))\ \ \forall y$ . Entonces, necesariamente, para cada $y$ debemos tener $f(y') \leq f(y) \ \ \forall y'\leq y$ . Si $f$ es estrictamente creciente (necesitamos que sea estricta para que sea invertible) entonces también se cumple esta condición.

EDITAR:
Si f es una función creciente (no necesariamente de forma estricta) entonces se puede definir $$A_y = \lbrace x\in\mathbb{R}: f(x)\geq y\rbrace$$ Y $g(y) = \text{inf}\ A_y$ para ser su inverso generalizado, entonces lo que quieres es eso: $$X\leq g(y) \iff f(X) \leq y$$ Puede demostrar que $g$ es creciente y si $f$ es continua, entonces $g(y)\in A_y$ y $f(g(y))= y$ (este último utilizando Bolzano y alguna obra diminuta). De esta manera:
$(\implies)$ si $f$ es continua, entonces $f(X) \leq f(g(y)) = y \leq y$
$(\impliedby)$ si $X > g(y)$ entonces como f es creciente y continua $f(X) \geq f(g(y)) \geq y$ porque $g(y)\in A_y$

Si f no es continua, por ejemplo una función escalonada $f(x) =\begin{cases}0 \quad x\in(-\infty,0) \\ 1 \quad x\in[0,\infty)\\ \end{cases}$
Entonces no necesariamente puedes conseguir $f(g(y)) \leq y$ desde $f(g(0.5)) = f(0) = 1 \nleq 0.5$ (quizás haya una forma de caracterizar estas funciones pero no la conozco). Y para $g(y)\in A_y$ se necesita algún tipo de continuidad de la derecha, de lo contrario la siguiente función falla $h(x) =\begin{cases}0 \quad x\in(-\infty,0] \\ 1 \quad x\in(0,\infty)\\ \end{cases}$