La "sensibilidad" de los 2 colores de la red entera d-dimensional

Question

Considere la $d$ -de la red de números enteros, $Z^d$ . Llama a dos puntos en $Z^d$ "vecinos" si su distancia euclidiana es 1 (es decir, si difieren en 1 en exactamente una coordenada).

Dejemos que $C$ sea una bicolor de $Z^d$ que hace que cada punto sea rojo o azul. Supondremos que $C$ tiene la siguiente propiedad de "no trivialidad": el origen es de color rojo, pero en cada una de las $d$ ejes a través del origen, hay un punto en ese eje que es de color azul.

Que la "sensibilidad" de un punto $x$ con respecto a $C$ o $s_x(C)$ sea el número de $x$ que tienen un color diferente al de los vecinos de $x$ . Entonces dejemos que $s(C) = \max_{x \in Z^d} s_x(C)$ .

PREGUNTA: ¿Puede darme algún límite inferior decente en $s(C)$ en términos de $d$ ? Por ejemplo, que $s(C) \ge k \sqrt{d}$ para alguna constante $k > 0$ ?

OBSERVACIÓN 1: Si se demuestra una cota inferior de la forma $k d^l$ (para las constantes $k,l > 0$ ), entonces habrá resuelto un viejo problema abierto en el estudio de las funciones booleanas, a saber, el problema de la "sensibilidad frente a la sensibilidad en bloque" (planteado por Noam Nisan en 1991). Pero, por favor, ¡no dejes que eso te desanime! Mi variante se siente más accesible, e incluso puede que ya se sepa algo al respecto.

(Estaré encantado de facilitarle todos los detalles de la reducción si lo solicita. Pero la idea básica es la siguiente: que $f : \lbrace 0,1 \rbrace ^n \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ sea una función booleana tal que la sensibilidad del bloque $bs(f)$ es mucho mayor que la sensibilidad $s(f)$ . Entonces debe haber una entrada $x$ de $f$ que tiene $bs(f)$ bloques sensibles disjuntos. Sea $d=bs(f)$ . Entonces podemos construir una bicolor de $Z^d$ con las propiedades enumeradas anteriormente, y tal que $s(C) \le 2 s(f)$ donde $s(f)$ es la sensibilidad de $f$ . La entrada $x$ se asigna al origen de $Z^d$ mientras que cada uno de los $d$ bloques sensibles de $x$ se asigna a uno de los ejes de $Z^d$ . Para mapear una asignación booleana a un número entero, de forma que se preserve la sensibilidad, utilizamos el Código Gris. Por último, coloreamos cada punto $y \in Z^d$ rojo o azul, dependiendo de si $f(x)$ es 0 o 1 para el punto booleano correspondiente $x$ .)

OBSERVACIÓN 2: Puedo dar un ejemplo de una coloración con $s(C) = O(\sqrt{d})$ lo que significa que $s(C) \ge k \sqrt{d}$ es realmente el mejor límite inferior que se puede esperar. Esta coloración se puede obtener partiendo de la "función de Rubinstein", una función booleana $f : \lbrace 0,1 \rbrace ^n \rightarrow \lbrace 0,1 \rbrace$ con $bs(f) = n/2$ y $s(f) = 2 \sqrt{n}$ -- y luego aplicar la reducción esbozada en la Observación 1.

(Para los que estén interesados, permítanme ahora describir una coloración con $s(C) = O( \sqrt{d} )$ explícitamente. Supongamos, para simplificar, que $d$ es un cuadrado perfecto. Divida el $d$ coordenadas de $x$ en $\sqrt{d}$ "bloques" de $\sqrt{d}$ coordina cada uno. Luego colorearemos $x$ azul, si y sólo si al menos uno de los bloques tiene una única coordenada igual a $2$ y todas las demás coordenadas iguales a $0$ . Dejaré como ejercicio que verifiques que $s(C) = 2 \sqrt{d}$ .)

Nota: He editado un poco el párrafo anterior, para simplificar la construcción e insertar un factor de 2 que falta.

OBSERVACIÓN 3: Por el momento, ni siquiera tengo una prueba de que $s(C)$ tiene que crecer con $d$ (!!). Pero sospecho que al menos $s(C) \ge k \log d$ debería ser factible.

¡EDIT: Perdón por cambiar las anotaciones en medio del juego, pero tengo una mejor si quieres hablar de las bajas dimensiones (por la pregunta de domotorp más abajo)! Dejemos que $r_x(C)$ sea el número de ejes (arriba/abajo, izquierda/derecha, etc.) a lo largo de los cuales $x$ tiene un vecino con un color diferente al de $x$ es. Entonces dejemos que $r(C) = \max_x r_x(C)$ . Claramente $r(C) \le s(C) \le 2r(C)$ para todos $C$ .

De hecho, algo aún más fuerte que eso es cierto: dada cualquier coloración $C$ se puede crear una nueva coloración C' que satisfaga $s(C')=r(C)$ simplemente "explotando" cada punto $x$ en un cubo de $2^d$ puntos, que están todos coloreados de la misma manera $x$ fue coloreado en $C$ . Las propiedades de no trivialidad y sensibilidad se conservarán claramente; lo único que hace esta transformación es eliminar el problema de que un punto tenga dos vecinos de distinto color a lo largo del mismo eje. Por lo tanto, sin pérdida de generalidad, podemos cambiar la atención a $r(C)$ .

Ahora dejemos que $r_d = \min_C r(C)$ sobre todas las coloraciones no triviales $C$ de $Z^d$ .

Entonces esto es lo que sé:

$r_1 = 1$
$r_2 = 2$
$r_3 = 2$
$r_4 = 2$
$r_5 \in \lbrace 2,3 \rbrace$

ACTUALIZACIÓN: He creado una imagen que muestra una coloración explícita de $Z^3$ que satisface tanto la condición de no trivialidad como $r(C)=2$ . (Es decir, desde cada punto se puede cambiar de color moviéndose como máximo por 2 ejes diferentes). Como se ha explicado anteriormente, esto se puede convertir fácilmente en una coloración con $s(C)=2$ también.

        (fuente)

domotorp tiene razón en que probar $r_5=3$ podría ser un gran comienzo...

Answer 1

Se ha hablado de buscar mejoras al ejemplo de Rubinstein, es decir, brechas mucho más grandes entre la sensibilidad y la sensibilidad del bloque. Voy a argumentar que cualquier mejora de este tipo tendría que apartarse significativamente del ejemplo original, y desviarse de un enfoque natural que uno estaría tentado a seguir. Esta observación la han hecho seguramente otros que han trabajado en el problema. [ Nota: el argumento que voy a dar se puede resumir en la relación $bs_0(f) = O(s_0(f)C_1(f))$ . Probablemente sea uno de los primeros hechos conocidos (se agradecerían las referencias...), y si es así probablemente haya leído la prueba en algún momento].

Hablaré del problema original de las funciones booleanas. Digamos que queremos que la sensibilidad sea como máximo $m$ y la sensibilidad del bloque debe ser como mínimo $k \gg m$ . (No te preocupes por su relación con $n$ la longitud de entrada).

Recordemos que $s_0(f)$ es el máximo sobre todas las entradas 0 $x$ à $f$ del número de coordenadas sensibles de $x$ . De la misma manera, $s_1(f)$ es el máximo de todas las entradas de 1. Una forma natural de intentar hacer $s(f) \leq m$ es definir $f$ como un OR sobre una colección $\mathcal{G}$ de las funciones $g_t$ cada uno de los cuales depende como máximo de $m$ variables. De esta manera, nos aseguramos al menos $s_1(f) \leq m$ .
(Un supuesto equivalente es que $f$ es un $m$ -DNF. Otra reformulación equivalente en términos de complejidad del certificado es que $C_1(f) \leq m$ .) La función de Rubinstein se ve fácilmente que es de este tipo. Ahora argumentaré que para cualquier $m$ -DNF $f$ tenemos $s_0(f) = \Omega(k/m)$ . Si $s_1(f) = \Theta(m)$ como nuestro enfoque nos lleva a esperar, entonces combinando concluimos que $s(f) = \Omega(\sqrt{k})$ . (Pero nótese que esto no es una prueba de esta relación para todos los $m$ -DNFs, ya que mediante un enfoque más refinado se podría esperar tener $s_1(f) \ll m$ .)

OK, vamos a probar que para $f = \bigvee_{g_t \in \mathcal{G}}g_t$ como en el caso anterior, $s_0(f) = \Omega(k/m)$ .

Asumir WLOG que la entrada de todos los ceros $0$ satisface $f(0) = 0$ y tiene $k$ desunidos, mínimo bloques sensibles $B_1, \ldots, B_k$ . Sea $0^{(B_j)}$ denotan la entrada todo cero con bits en $B_j$ se volteó a 1, por lo que $f(0^{(B_j)}) = 1$ .

Para cada bloque $B_j$ existe una función $g_j \in \mathcal{G}$ que es igual a 1 en la entrada $0^{(B_j)}$ . Sea $u^j \in (0, 1, *)^n$ sea la restricción de $0^{(B_j)}$ à $S_j := dom(g_j) \subset [n]$ el conjunto de $\leq m$ insumos en los que $g_j$ depende. Por la minimidad de $B_j$ tenemos $B_j \subseteq S_j$ la contención puede ser adecuada.

Digamos que $a, b \in (0, 1, *)$ no está de acuerdo si ambos son booleanos y distintos; en caso contrario, di que coinciden. Decir que las cadenas $u, u' \in (0, 1, *)^n$ son compatible si no hay coordenadas $i \in [n]$ para lo cual $u_i, u'_i$ no está de acuerdo.

Reclamación 1: Hay un conjunto $A \subseteq [k]$ de tamaño $\Omega(k/m)$ , de tal manera que $u^j, u^\ell$ son compatibles para todos los $j, \ell \in A$ .

Prueba: Para $i \in [n]$ , dejemos que $\sharp (i)$ denotan el número de pares $j, \ell \in [k]$ tal que $u^j, u^\ell$ no están de acuerdo con el $i$ - en una coordenada.

Tenga en cuenta que si $u^j_i = 0$ entonces hay a lo sumo una $\ell \in [k]$ para lo cual $u^j, u^\ell$ no están de acuerdo con el $i$ - en una coordenada. (Esto se debe a que los conjuntos $B_\ell$ son disjuntos por pares). Por lo tanto, $\sum_i \sharp (i)$ es como máximo el número de 0 en las cadenas $u^1, \ldots, u^k$ ; esto es a lo sumo $mk$ . Entonces, al promediar, existe $j \in [k]$ tal que $\sum_{i \in B_j} \sharp (i) \leq m$ ; de nuevo estamos utilizando la disyunción de la $B_\ell$ 's.

Añadir este índice $j$ à $A$ y "borrar". $j$ junto con todos los índices $\ell \in [k]$ para lo cual $u^j, u^\ell$ son incompatibles. Por nuestra elección de $j$ hay a lo sumo $m$ índices $\ell \in [k]$ para lo cual $u^j, u^\ell$ no están de acuerdo en alguna parte de $B_j$ . Además, nuestras observaciones anteriores nos dicen que como máximo una $u^\ell$ no está de acuerdo con $u^j$ en cada coordenada en $S_j \setminus B_j$ . Por lo tanto, sólo eliminamos como máximo $m+m = 2m$ índices $\ell$ junto con $j$ .

Ahora repite el mismo procedimiento en los índices restantes. Continuando de esta manera, construimos un conjunto $A$ de al menos $k/(2m+1) = \Omega(k/m)$ índices; por construcción $u^j, u^\ell$ son consistentes para $j, \ell \in A$ , según se desee. $\clubsuit$

El resto de la prueba sigue un patrón familiar. Inicializar $x := 0^n$ (así $f(x) = 0$ ). Voltear repetidamente los bits de $\bigcup_{j \in A} B_j$ a 1, conservando la propiedad $f(x) = 0$ . Las cuerdas $u^j$ , $j \in A$ son mutuamente compatibles, por lo que nuestros giros nunca aumentan el desacuerdo entre $x$ y cualquier $u^j$ , $j \in A$ . Si $x$ nunca llega a ser compatible con cualquier $u^j$ entonces $f(x) = g_j(x) = 1$ así que eventualmente nuestro proceso de volteo se atasca en algún valor $x$ se deduce que $x$ tiene una coordenada sensible en $B_j$ para cada $j \in A$ . Así, $s_0(f) \geq |A| = \Omega(k/m)$ como queríamos mostrar.

Answer 2

La siguiente es una generalización de la construcción de domotorp para $r_6=2$ que construye una coloración en un $d$ -de la red con $d=2s^2-s$ .

Podemos construir lo siguiente $(2s-1)s$ -certificados de dimensión que colorearemos de azul, cada uno de ellos dividido en $s$ grupos de $2s-1$ coordina cada uno. Definimos el $s(2s-1)$ coordenadas $x_{\{i,j\}}$ , donde $1 \leq i \leq s$ y $1 \leq j \leq 2s-1$ . El certificado $S_{\{i,j\}}$ consiste en aquellos vectores para los que $x_{\{i,j\}}=3$ y $x_{\{i,j+1\}},\ldots, x_{\{i,j+s-1\}}=0$ donde la adición de coordenadas es modulo $2s-1$ que permite la envoltura.

Ahora podemos definir una coloración en la que un punto se colorea de azul si está en un certificado $S_{\{i,j\}}$ y rojo en caso contrario. Esto satisface la condición de no trivialidad porque para cualquier coordenada $x_{\{i,j\}}$ el certificado $S_{\{i,j\}}$ contiene el punto a lo largo del eje de coordenadas en esa dirección con $x_{\{i,j\}}=3$ y $x_{\{a,b\}}=0$ para todos $(a,b)\neq(0,0)$ .

La sensibilidad del azul al rojo de esta coloración, que es la máxima sensibilidad de los puntos azules, es $s$ porque para cualquier punto de un certificado $S_{\{i,j\}}$ , sólo cambiando uno de los $s$ coordenadas $x_{\{i,j\}}, x_{\{i,j+1\}},\ldots, x_{\{i,j+s-1\}}$ produce un punto rojo adyacente. Además, la sensibilidad del rojo al azul también es $s$ . Para un punto $p$ y un certificado $S_{\{i,j\}}$ , si $p$ es adyacente a $S_{\{i,j\}}$ entonces $2 \leq x_{\{i,j\}} \leq 4$ y $-1 \leq x_{\{i,j+1\}},\ldots, x_{\{i,j+s-1\}} \leq 1$ . Así que para un punto $p$ y un índice fijo $a$ , $1 \leq a \leq s$ , $p$ puede ser adyacente como máximo a un certificado de la forma $S_{\{a,j\}}$ porque dos de estas cadenas de $s$ las coordenadas no caben en $2s-1$ coordenadas. Recorriendo todas las $a$ un punto puede ser adyacente a un máximo de $s$ certificados, por lo que la sensibilidad del rojo al azul es como máximo $s$ .

Por lo tanto, la coloración tiene sensibilidad $s$ y $d=(2s-1)s=2s^2-s$ .

Answer 3

El problema tiene una interacción entre lo local y lo global que sugiere buscar una analogía con un resultado geométrico que relacione los dos tipos de información. A continuación se presenta un programa basado (tal vez de forma en el teorema generalizado de Gauss-Bonnet. En términos muy generales términos:

1. Definir un colector lineal a trozos que rodee una componente de el conjunto rojo.

2. Definir una noción adecuada de curvatura para los lineales a trozos lineales a trozos.

3. Demuestre que si la sensibilidad en un punto es inferior a un determinado umbral, la curvatura debe desaparecer allí.

4. Demuestre que si la curvatura desaparece en todas partes, entonces la variedad tiene una estructura geométrica que es inconsistente con la condición de no trivialidad condición de no trivialidad.

El resto de este artículo está dedicado a desarrollarlo un poco.

Dejemos que $V = ({\mathbf Z}_N)^d$ para algún número entero $N$ . (No trabajamos trabajamos en ${\mathbf Z}^d$ porque, al menos por el momento, no queremos preocuparnos por la posibilidad de que el colector que vamos a construya no sea compacto). Sea $G = (V,E)$ sea la red cúbica, es decir, el gráfico con el conjunto de vértices $V$ cuyo borde conjunto $E$ es el conjunto de pares $\{v,v'\}$ con $v_i \ne v'_i$ para exactamente un $i$ para lo cual tenemos $v'_i = v_i \pm 1$ . Geométricamente pensaremos pensar en esto como incrustado en el toroide $(\Re/N{\mathbf Z})^d$ que dotamos de la evidente métrica (plana) de Riemann.

Supongamos que $V = R \cup B$ donde es $R$ y $B$ son no vacíos y disjuntos. Podemos suponer que el subgrafo de $G$ inducido por $R$ es conectado porque podemos sustituir $R$ con uno de sus componentes. Nosotros ahora queremos envolver $R$ en celofán lineal a trozos, es decir que construiremos una hipersuperficie PL $M$ que tiene $R$ en un lado y $B$ en el otro. El conjunto de vértices $W$ de esta hipersuperficie será tendrá un punto en cada arista en $E$ cuyos dos extremos tienen diferentes colores.

Ahora tenemos que decir cuáles son las simplices de dimensión positiva son. Sea ${\mathbf e}_1, \ldots, {\mathbf e}_d$ sea el estándar base unitaria''; pensaremos en ellos tanto como elementos de grupo como puntos particulares. Para ser completamente concretos, supongamos que el origen está en $R$ y ${\mathbf e}_1$ está en $B$ . Entonces $w_1 = \tfrac13 {\mathbf e}_1$ será el punto de la arista entre estos puntos donde esta arista se cruza $M$ . Necesitamos definir una vecindad de $w_1$ en $M$ . Definamos primero los vecinos de $w$ en el esqueleto 1 de $M$ . Considere $j = 2, \ldots, d$ . Si ${\mathbf e}_j$ está en $B$ , dejemos que $w_j = \tfrac13 {\mathbf e}_j$ . Si ${\mathbf e}_j$ está en $R$ y ${\mathbf e}_1 + {\mathbf e}_j$ está en $B$ , dejemos que $w_j = \tfrac13 {\mathbf e}_1 + {\mathbf e}_j$ . Si ${\mathbf e}_j$ y ${\mathbf e}_1 + {\mathbf e}_j$ están en $R$ , dejemos que $w_j = {\mathbf e}_1 + \tfrac23 {\mathbf e}_j$ .

Dejemos que $w_{-j}$ sea lo que obtengamos de esta construcción con ${\mathbf e}_j$ sustituido por $-{\mathbf e}_j$ . Nos gustaría definir $M$ para que sea la unión de todos esos $w_1$ de la unión el $(d-1)$ -que se obtienen tomando el casco convexo de $w_1, w_{i_2}, \ldots, w_{i_d}$ donde cada $i_j \in \{j,-j\}$ . Por supuesto, debemos verificar que $M$ así definida es, de hecho, una pero quiero dejar esto de lado y pasar a la cuestión de la curvatura de la curvatura. (Si esta construcción no funciona, tal vez se pueda arreglar, o algo similar sí funciona). Hay, por supuesto, muchas nociones de curvatura en la geometría diferencial. Para muchas de ellas debería ser posible definir algún análogo en el caso lineal a trozos, pero pero cualquier proyecto de este tipo será probablemente tedioso, y nos gustaría encontrar alguna forma más sencilla.

Para una superficie en tres espacios, la curvatura gaussiana puede ser como el determinante del Jacobeo del mapa que lleva cada punto de la superficie al vector normal unitario en las dos esferas. Si esta curvatura desaparece en todas partes en algún conjunto abierto, entonces en este conjunto la superficie es localmente isométrica al espacio plano dos. (Este es un caso caso especial del teorema egregio de Gauss). Esto sugiere que definir la $dimension\; of\; flatness$ en $w_1$ para ser la dimensión del mayor subespacio lineal (ya sé que estamos dentro de un toroide, pero pero ya sabes lo que quiero decir) $L$ tal que cerca de $w_1$ , $M$ coincide con la suma de $L$ y un colector $N$ y la suma de las dimensiones de $L$ y $N$ es $d-1$ .

Ahora queremos estudiar la relación entre el dimensión de la planicidad en $w_1$ y las sensibilidades en el origen y ${\mathbf e}_1$ . Además, la dimensión de la planicidad del $M$ derivado del Rubinstein puede ser una guía muy útil sobre cómo proceder. La idea general idea es que una baja sensibilidad implica una alta dimensión de planitud lo que a su vez tendrá la implicación de que $M$ es el cartesiano producto (o una suma, algebraicamente) de un $n$ -manifold $N$ y un $(d - n - 1)$ -toro de dimensiones. Y, por supuesto, podría haber otras ideas ideas para seguir en esta dirección general.

Answer 4

Aquí hay una conferencia grabada en vídeo por Miks Saks que describe otro enfoque de la conjetura. https://youtu.be/hYfeRtdj7cw?t=7m32s

Answer 5

Lo que sigue es una elaboración de las ideas que publiqué en la página de philomath, pero escrita de forma mucho más limpia y con una buena tipografía. Se basa en las ideas de varios colaboradores anteriores:

En primer lugar, hay que tener en cuenta que si el $O(\sqrt{d})$ falla, entonces para un tamaño arbitrario de $k>0$ hay un $Z^d$ con coloración $C$ tal que $r(C)+1 < \sqrt{d/k}$ es decir, wlog podemos fijar un $k>0$ y asumir que $d > k(r+1)^2$ . Voy a elegir $k=1$ aquí y asumir $d > (r+1)^2$ .

Considere un punto azul $p\in Z^d$ . Sea $N_p=\{e_i : p+e_i \text{ is red or } p-e_i \text{ is red}\}$ y que $n=|N_p|$ . Llamaré $N_p$ el conjunto de direcciones normales en $p$ . Defina también $T_p=\{e_j:p\pm e_j \text{ are both blue and } N_p\subset N_{p+e_j}\cap N_{p-e_j}\}$ y $t=|T_p|$ . Llamaré a esto las direcciones tangentes a $p$ . (Informalmente: los ejes por los que nos podemos mover desde $p$ para mantener nuestro color y las direcciones normales anteriores intactas. Tenga en cuenta que a menudo habrá direcciones de coordenadas que no son ni normales ni tangentes en $p$ ). Al eliminar las direcciones de sensibilidad alrededor de $p$ y alrededor de $n$ puntos rojos adyacentes en las direcciones normales, vemos que $t\geq d-r(n+1)$ . Desde $n\leq r$ por definición, y $d > r(r+1)$ por el párrafo anterior, sabemos que $d-r(n+1)>0$ y así $t>0$ en cada $p$ .

Dejemos que $P$ sea el plano en $p$ abarcados por $T_p$ . Uno de los dos casos debe ser válido:

1) Cada punto $q\in P$ es azul con $N_p=N_q$ (por ejemplo, obtenemos un plano monocromático de dimensión $\geq d-r(n+1)$ con exactamente las mismas direcciones normales originales), o,

2) Existe un $p'\in P$ con $N_p\subsetneq N_{p'}$ .

Sin embargo, como $n\leq r$ para todos los puntos, y el caso 2 da un nuevo punto con un tamaño estrictamente mayor $n$ La inducción da lo siguiente:

Dejemos que $p$ sea un punto azul, y que $P'$ sea el plano en $p$ abarcados por el $e_i\notin N_p$ . Entonces existe un plano afín $P''\subset P'$ con una dimensión mínima de $d-r(r+1)$ tal que para cada $q\in P''$ , $q$ es azul y $N_q=N_{P''}$ , donde $N_p\subset N_{P''}$ .

[En particular, si $p$ es un punto de máxima sensibilidad, pertenece automáticamente a un plano de dimensión $d-r(r+1)>0$ cuyos puntos son todos del mismo color, y todos de máxima sensibilidad].

En este punto mi primera idea es ampliar/imitar el ejemplo que Gowers publicó en el hilo de philomath de la siguiente manera: En cada eje de coordenadas $e_i$ hay un primer punto azul $p_i$ con $e_i \in N_{p_i}$ . Aplicando lo anterior se obtienen los planos afines $P_i''$ con direcciones normales constantes $N_i$ , $e_i\in N_i$ . Dado que cualquier $P_i''$ tiene como máximo $r$ direcciones normales, debe haber al menos $m=d/r$ distintivo $P_i''$ aviones. Si pudiéramos argumentar que $m\leq r$ o algo similar, estaríamos acabados. Pero no podemos copiar directamente el argumento de Gowers aquí porque el eventual $P_i''$ Los planos que obtenemos no son necesariamente homogéneos con respecto a la $e_i$ coordina

Desgraciadamente, hasta ahora nada utilizaba el hecho de que los puntos azules están en los ejes de coordenadas, lo que tendrá que ser utilizado para evitar el contraejemplo de INDEX LOOKUP. Por supuesto, replicar el argumento de Gowers puede ser totalmente innecesario, puesto que ya asumimos al principio que el $O(\sqrt{d})$ no ha podido garantizar los planos tangentes de dimensión positiva, lo que ya puede ser suficiente (junto con los puntos azules del eje de coordenadas) para forzar alguna contradicción.

Una idea que no he pensado pero que puede funcionar es encontrar una forma de argumentar que $P_i''$ debe ser homogénea en todo menos en ~ $r$ coordenadas y derivar algún límite como $m\leq r^c$ para algunos $c$ de esto, lo que da un límite polinómico en general cuando se combina con la desigualdad que ya tenemos. Podría ser útil en este enfoque modificar la hipótesis original $r+1<\sqrt{d}$ a algo como $r+1 < d^{1/3}$ que garantizaría $r(r+1) < \frac{d}{r+1}$ Así que $d-r(r+1) > d(1-\frac{1}{r+1})$ , lo que proporciona planos de mayor dimensión con los que trabajar y forzar las intersecciones entre ellos, a la vez que se mantiene el potencial de un resultado de límites polinómicos.