¿Cómo puedo completar un conjunto de tres vectores en $\mathbb{R}^4$ a una base de ese espacio?

Question

Vectores dados $$w_1 (0,-1,2,1),\quad w_2 (1,0,2,1),\quad w_4 (2,1,1,0),$$ cómo encontrar otro vector $v$ tal que $\{w_1, w_2, w_4, v\}$ es linealmente independiente?

Mi enfoque es escribirlos todos en forma de matriz y luego tratar de reducirlos por filas, pero si una fila es sólo $a,b,c,d$ y otros con números, ¿cómo podré demostrar que es una base? ¿O me estoy perdiendo un punto aquí?

¿Puedo tomar los 3 vectores dados y reducirlos en fila?

Answer 1

Si se colocan los tres vectores dados como filas de una matriz y se hace la reducción de filas, el conjunto de vectores abarcados por las filas después de será el mismo que el conjunto abarcado antes de (suponiendo que lo hagas bien). Pero DESPUÉS de la reducción, debería ser más fácil encontrar un vector que no esté en el ámbito de tus filas. Por ejemplo, si usted terminó con $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, $$ entonces el vector $[0, 0, 1, 0]$ no estaría en el tramo de la fila.

Answer 2

Un conjunto de $n$ vectores en $\mathbb{R}^n$ es linealmente independiente si el $n \times n$ La matriz producida al unirlas es no singular, lo que significa que tenemos que encontrar un vector $(a, b, c, d)^T$ tal que $$\det\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & a \\ -1 & 0 & 1 & b \\ 2 & 2 & 1 & c \\ 1 & 1 & 0 & d \end{pmatrix} \neq 0.$$

Se podría ampliar esto, lo que llevaría algo de trabajo, o se puede observar que, por ejemplo, los vectores en $\mathbb{R}^3$ producido por la proyección de la $w_i$ en las tres primeras componentes son a su vez linealmente independientes, por lo que si establecemos $a = b = c = 0$ tenemos $$\det\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & d \end{pmatrix} \neq 0 = -(d) \det \begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \end{pmatrix} \neq 0,$$ proporcionado $d \neq 0$ . Así, cualquier vector $(0, 0, 0, d)^T$ , $d \neq 0$ hace el truco.