Creo que estás aprendiendo las formas canónicas de Jordan. Aquí hay algunas preguntas que quizás quieras hacerte Aquí las respondo de forma exhaustiva.
(1) ¿Cómo puedo encontrar los valores propios, la dimensión y la base del espacio propio correspondiente a un valor propio?
(2) ¿Qué es esta cuestión de encontrar $P$ ¿De verdad?
Respuesta a (1)
Para encontrar los valores propios, generalmente, la herramienta más útil es el polinomio característico. Un escalar $\lambda$ es un valor propio si y sólo si $|\lambda I - A| = 0$ .
El polinomio en $x$ dado por $|xI - A| = 0$ se llama el polinomio característico. Si $\lambda$ es una raíz de este polinomio con multiplicidad $a_{\lambda}$ Entonces, $\lambda$ es un valor propio de multiplicidad algebraica $a_{\lambda}$ .
Decimos que un vector no nulo $v$ es un vector propio con valor propio $\lambda$ , si $Av = \lambda v$ . Dicho de otro modo, $(A - \lambda) v = 0$ Es decir, $v \in \ker(A-\lambda I)$ . Esto motiva:
El núcleo de $A - \lambda I$ se llama el eigespacio correspondiente a $\lambda$ . Su dimensión $k_{\lambda}$ se llama la multiplicidad geométrica de $\lambda$ .
Respuesta a (2)
Buscamos un $P$ tal que $P^{-1}AP = J$ donde $J$ es la forma canónica de Jordan de $A$ . De forma abstracta, tenemos un operador sobre un espacio vectorial $V$ sobre un campo algebraicamente cerrado. Sea $T : V \to V$ sea el operador que proporciona esta representación matricial con respecto a la base estándar.
Lo que hay que tener en cuenta es que $P$ tiene una doble propiedad: $P$ cambia la base estándar $\mathfrak{B}$ a otra base $\mathfrak{B}'$ tal que la representación matricial de $T$ con respecto a $\mathfrak{B}'$ es la matriz $J$ . Es decir, si elegimos como base $\mathfrak{B}'$ las columnas de $P$ entonces, el operador $T$ se comporta como $J$ . (¡Véase la imagen del final que resume el cambio de las matrices de base!)
Una vez que esta idea está clara, entonces, hay una manera natural de averiguar lo que este $P$ ¡debe ser! Supongamos, para simplificar, que $J$ es un $2 \times 2$ Bloque de Jordania correspondiente a $\lambda$ . Si $v$ es un vector propio de valor propio $\lambda$ entonces, si elegimos $v$ como primer vector de nuestra base $\mathfrak{B}'$ entonces, $Tv = \lambda v$ o en notación de base, $$[T]_{\mathfrak{B}'}[e_1]_{\mathfrak{B}'} = \lambda [e_1]_{\mathfrak{B}'}$$ Dicho de otra forma, la primera columna de $[T]_{\mathfrak{B}'}$ es $$\begin{pmatrix}\lambda \\ 0\end{pmatrix}.$$ Por lo tanto, puede elegir como $v$ el vector propio correspondiente a $\lambda$ .
Ahora, el teorema de Jordan nos dice que, hay un vector $w$ tal que $Tw = \lambda w + v$ . Ahora bien, al elegir $w$ como segundo vector para $\mathfrak{B}'$ tenemos, $$[T]_{\mathfrak{B}'}[e_2]_{\mathfrak{B}'} = \lambda [e_2]_{\mathfrak{B}'} + [e_1]_{\mathfrak{B}'}.$$
En términos de matriz $[T]_{\mathfrak{B}'}$ obtenemos que, su segunda columna es $$\begin{pmatrix}1 \\ \lambda\end{pmatrix}.$$
¡Hurra! Tienes una base de Jordan, a saber. $\mathfrak{B}'$ ¡! (La base $\mathfrak{B}'$ se llama Base de Jordan, porque, la matriz de $T$ es: $$\begin{pmatrix}\lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix},$$ un bloque de Jordan en esta base).
Para determinar $P$ o, de forma equivalente, una base de Jordan, determinar los valores propios $\{\lambda\}$ su multiplicidad algebraica $\{a_\lambda\}$ y la dimensión de los eigenspaces $\{k_{\lambda}\}$ . Ahora, $P$ es la matriz diagonal de bloques formada por vectores columna de cadenas de Jordan correspondientes a distintos valores propios: una cadena de Jordan correspondiente al valor propio $\lambda$ es una secuencia de vectores $v_1, \dots, v_{a_{\lambda}}$ tal que $$\begin{align*} Tv_j &= \lambda v_j &\text{for } &&1 \leqslant j\leqslant k_{\lambda}\\ Tv_l &= \lambda v_l + v_{l-1} &\text{for } &&k_{\lambda}+1 \leqslant l \leqslant a_{\lambda} \end{align*}$$
Resumen del cambio de base ![basis_change_image]()
