Volumen de un simplex

Question

Hallar el hipervolumen del hipersólido en el espacio 4 $\mathbb{R}^4$ formado por los puntos $(w,x,y,z)$ que satisfagan $w\ge0,x\ge0,y\ge0,z\ge0$ y $w+2x+3y+4z\le6$

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Este es un problema de nuestro concurso de matemáticas para estudiantes hace unos años. Y no pude entender el concepto de cuatro dimensiones. ¿Supongo que estamos usando la integral cuádruple para hacer esto? Cualquier ayuda sería apreciada.

Answer 1

Si en lugar de eso tuvieras el simplex $$ x,y,z,w\ge 0 \quad\text{and}\quad x+y+z+w\le 1, $$ entonces su volumen sería $\frac{1}{4!}=\frac{1}{24}$ .

Ahora, ¿qué hacen los coeficientes 2,3 y 4?

Respuesta. Dividir por 2,3 y 4.

¿Qué hace el 6, en la posición del 1?

Respuesta. Multiplica por $6^4$ .

En conjunto

Volumen de simplex $=\frac{6^4}{24^2}=\frac{9}{4}.$

Answer 2

Es la integral cuádruple: el montaje es:

$$V = \int^{6}_{0}\int^{\frac{6-w}{2}}_{0}\int^{\frac{6-w-2x}{3}}_{0}\int^{\frac{6-w-2x-3y}{4}}_{0}1\,dz\,dy\,dx\,dw$$