¿Es posible una "tercera cuantificación"?

Question

• Mecánica clásica: $t\mapsto \vec x(t)$ el mundo está descrito por las trayectorias de las partículas $\vec x(t)$ o $x^\mu(\lambda)$ es decir, el vector de Hilbert es la función de coordenadas de la partícula $\vec x$ (o $x^\mu$ ), que luego se proyecta en el espacio parametrizado por la "coordenada" tiempo $t$ o el parámetro relativista $\lambda$ (que no es necesariamente monótono en $t$ ).
  Interpretación: Para cada valor del parámetro, se describe la coordenada de una partícula.
  Determinista: La propia posición de la partícula
• La mecánica cuántica: $x^\mu\mapsto\psi(x^\mu)$ (a veces llamado "el primera cuantificación ") produce La mecánica cuántica donde el vector de Hilbert es la función de onda (siendo un campo) $|\Psi\rangle$ que se proyecta, por ejemplo, en un espacio de coordenadas para que los parámetros sean $(\vec x,t)$ o $x^\mu$ .
  Interpretación: Para cada coordenada, el campo cuántico describe la densidad de carga (o la probabilidad de medir la partícula en esa posición si te quedas con la teoría no relativista).
  Determinista: La función de onda
  No determinista: La posición de la partícula
• Teoría Cuántica de Campos : $\psi(x^\mu)\mapsto \Phi[\psi]$ (llamado segunda cuantificación a pesar de que ahora el campo de ondas está cuantificado, no las coordenadas por segunda vez) básicamente da un funcional $\Phi$ como vector de Hilbert proyectado en el espacio de campo cuántico parametrizado por las funciones de onda $\psi(x^\mu)$ .
  Interpretación: Para cada función de onda posible, el (hasta donde yo sé, sin nombre) $\Phi$ describe algo así como la probabilidad de que esa función de onda ocurra (lo siento, no sé cómo formularlo mejor, no es realmente una probabilidad). Un efecto es, por ejemplo, la generación de partículas, por lo que la noción "partícula" es sospechosa ahora
  Determinista: El funcional $\Phi$ No determinista: la función de onda $\psi$ y la posición de la "partícula"

Ahora, ¿podría haber una tercera cuantificación $\Phi[\psi(x^\mu)] \mapsto \xi\{\Phi\}$ ? ¿Qué significaría? ¿Y qué pasa con la cuarta, quinta, ... cuantificación? ¿O la segunda cuantificación es algo definitivo?

Answer 1

Una respuesta más contra la "segunda quntización", porque creo que es una buena demostración de cómo una notación coja puede oscurecer un significado físico.

La primera declaración es no hay una segunda cuantización. Por ejemplo, aquí está la cita del libro de Steven Weinberg " La teoría cuántica de los campos " Vol.I:

Sería bueno que el expresión engañosa "segunda cuantificación" se retirara definitivamente se retirara.

[Incluso diría que no hay cuantificación en absoluto, como procedimiento para pasar de la teoría clásica a la cuántica, porque (por ejemplo) la mecánica cuántica de una sola partícula es más fundamental que la mecánica clásica, por lo que se pueden derivar todos los resultados "clásicos" de la MQ pero no a la inversa. Pero entiendo que es una respuesta demasiado especulativa].

Existe un procedimiento llamado "cuantificación canónica", que se utiliza para construir una teoría cuántica para un sistema clásico que tiene una dinámica hamiltoniana, o más generalmente, para construir una teoría cuántica que tiene un cierto límite clásico.

En este caso, si por "cuantificación canónica" de un sistema hamiltoniano con número finito de grados de libertad (mecánica clásica) se entiende la mecánica cuántica (QM) con número fijo de partículas, entonces la teoría cuántica de campos (QFT) es la "cuantificación canónica" de un sistema hamiltoniano clásico con número infinito de grados de libertad: la teoría clásica de campos, no la mecánica cuántica . Para este procedimiento, no hay diferencia entre la cuantificación de los modos del campo electromagnético y la cuantificación de los modos vibracionales de la superficie de la gota de helio superfluido.

Una cita más del libro de Weinberg:

Los campos de ondas $\phi$ , $\varphi$ , etc, no son amplitudes de probabilidad en en absoluto...

Es útil tener en cuenta la siguiente analogía: las coordenadas son la "configuración clásica" de una partícula. Función de onda QM $\psi(x)$ corresponde a la "difusión" de una partícula cuántica sobre todas las posibles "configuraciones clásicas". Función de onda QFT $\Psi(A)$ corresponde a la "difusión" de un campo cuántico sobre todas las configuraciones posibles de un campo clásico $A$ . Operador $\hat{A}$ corresponde al observable $A$ de la misma manera que los observables $x$ está representado por operadores hermitianos $\hat{x}$ en QM.

La segunda declaración es : La "cuantización canónica" es irrelevante en el contexto de la teoría fundamental. La QFT es la única forma de casar la mecánica cuántica con la relatividad especial y puede contraerse sin una referencia a ninguna "muleta clásica"

Conclusión : No hay ninguna secuencia de "cuantizaciones" (1ª, 2ª,.. enésima).

Answer 2

La (primera) cuantización es un procedimiento matemático sólido: suele asociar a una función de dos variables $a(x,\xi):\mathbb{R}^d \times \mathbb{R}^d \to \mathbb{C}$ un operador $a(x,D_x)$ ( $D_x$ es la derivación multiplicada por $-i$ ) en $L^2(\mathbb{R}^d)$ . Hay varios tipos de cuantización (por ejemplo, Weyl, Wick, Anti-Wick, Born-Jordan) que tratan de forma diferente las ambigüedades en el orden del operador de multiplicación $x$ y la derivación $D_x$ . La interpretación física en mecánica cuántica es sencilla: una función clásica de posición y momento corresponde a un operador (que depende de las variables canónicas cuánticas) en el espacio de Hilbert.

El espacio de Fock de la teoría cuántica de campos es una suma infinita de espacios de Hilbert, cada uno de los cuales es un producto tensorial del espacio de una partícula ( $L^2$ ), debidamente simetrizado. Debido a su particular estructura, a un operador dado en el espacio de una partícula se le puede asociar un operador en el espacio de Fock completo. Este procedimiento puede hacerse de nuevo riguroso desde el punto de vista matemático, y se llama segunda cuantización. El nombre se debe a la analogía con la cuantización descrita anteriormente: el operador de una partícula es el análogo de la función del espacio de fase, y el operador sobre el espacio de Fock completo depende de las variables canónicas, es decir, de los operadores de creación y aniquilación. Es posible cuantificar primero una función del espacio de fase, y luego cuantificar el resultado para obtener un operador del espacio de Fock.

Esto es sólo una cuestión de terminología; sin embargo, es el procedimiento estándar utilizado para deducir la estructura de los sistemas cuánticos, partiendo de lo que podemos observar fácilmente (los análogos clásicos). La cuantización es también una herramienta matemática muy poderosa, aunque pueda considerarse lo contrario de cómo funciona la naturaleza.

El espacio de Fock se puede construir a partir de cualquier espacio de Hilbert separable, y el espacio de Fock es un espacio de Hilbert separable. Así que podemos pensar en un espacio de Fock de espacios de Fock. Sea $\Gamma(L^2)$ sea el primer espacio de Fock, y $\Gamma(\Gamma(L^2)) $ el segundo. Entonces la segunda cuantificación de un operador en $\Gamma(L^2)$ resultaría en un operador en $\Gamma(\Gamma(L^2))$ y podemos llamarlo la tercera cuantificación del operador. Obviamente, esta idea se puede iterar para obtener $n$ cuantificación. Pero, aparte de ser una curiosidad matemática, no tengo ni idea de cuál puede ser la interpretación física de estas cuantizaciones adicionales.

Para obtener información matemática sobre el procedimiento de la segunda cuantización, véase, por ejemplo, el segundo volumen del libro de Reed y Simon. Para la primera cuantificación se pueden ver los libros de Hormander "análisis de operadores diferenciales parciales lineales", especialmente el capítulo XVIII; pero este libro necesita mucha base matemática.

Answer 3

Estoy de acuerdo con Kostya en que estos nombres están desaprobados y, en este sentido, deberían evitarse (el libro de A. Zee, "QFT in a Nutshell", lo explica con bastante claridad).

Ahora bien, si se piensa en el proceso de "cuantificación" como un functor se llega a las construcciones de Báez. Pero ten en cuenta que los objetos sobre los que actúa este "functor de cuantificación" se vuelven progresivamente diferentes de lo que podrías esperar.

Un ejemplo que me viene a la mente es la cuantificación de gerbes que sí aparece en la física de altas energías (véase la sección 3 de Langlands geométricos de seis dimensiones ). Pero estos objetos son muy poco intuitivos desde el punto de vista de la Física: ni siquiera se obtiene un Acción asociados a esta construcción.

Así que, en este punto, lo más lejos que hemos llegado en esta dirección es la Teoría del Campo de Cuerdas. Pero, en cierto sentido, la "cuantización" sigue siendo un misterio

Answer 4

En el contexto de la teoría cuántica de campos, el consejo de Weinberg de ignorar el término "segunda cuantificación" es un buen consejo. Sin embargo, para ir más allá de la teoría cuántica de campos todo vale y algunas personas han promovido la idea de la cuantización múltiple como una idea especulativa que podría ser fructífera. No es una idea popular, como se puede ver en las otras respuestas, pero la respuesta a esta pregunta no estaría completa sin mencionarla.

Tenga en cuenta que el término "tercera cuantización" se utiliza en el contexto de la cosmología cuántica y no significa realmente una cuantización adicional después de la segunda cuantización. Si quieres aprender sobre la realidad, intenta buscar términos como "cuantificación múltiple", "cuantificación iterada", "cuantificación repetida", "cuarta cuantificación" o "cuantificación infinita" (e ignora todo lo relacionado con la compresión de datos).

Verá que los resultados son especulativos, variados e incompletos, pero no siempre totalmente descabellados. No creo que la gente deba entusiasmarse demasiado con la idea, pero tampoco hay que descartarla alegremente. Es algo que hay que tener en cuenta si se intenta comprender la estructura de las teorías sobre la gravedad cuántica, por ejemplo.

Answer 5

Vaya, es una muy buena pregunta. Desafortunadamente, no puedo escribir una pregunta, porque no tengo una.

Sin embargo, intenté encontrar algo relacionado con la tercera cuantificación en arxiv, y sorprendentemente (o no tan sorprendentemente), se pueden encontrar algunos artículos relacionados con este nuevo paso.

Sólo por nombrar algunos:

http://arxiv.org/abs/gr-qc/0606021

http://arxiv.org/abs/hep-th/9212044

Realmente espero que alguien pueda obtener una respuesta completa aquí.