Cinco puntos en un plano..

Question

Hay 5 puntos en un plano. Desde cada punto se trazan perpendiculares a la recta que une los otros puntos. ¿Cuál es el número máximo de puntos de intersección de estas perpendiculares? No puedo pensar en la lógica, por favor ayúdame...

Answer 1

Hay totalmente $\displaystyle \binom{5}{2}=10$ líneas que unen dos de los cinco puntos cualesquiera. Desde cada uno de los cinco puntos, $\displaystyle \binom{4}{2}$ se pueden trazar líneas perpendiculares. Así que hay totalmente $5\times 6$ líneas perpendiculares dibujadas.

$30$ las líneas pueden cruzarse como máximo en $\displaystyle \binom{30}{2}=435$ puntos. Sin embargo, esta no es la respuesta, ya que:

(1) De cada uno de los cinco puntos, $6$ se trazan líneas perpendiculares a través de él. Así que es el punto de intersección de 6 líneas perpendiculares. Hemos contado este punto $\displaystyle \binom{6}{2}=15$ veces como punto de intersección de líneas perpendiculares. Por lo tanto, el número de puntos de intersección debe ser cortado por $5\times 14=70$ .

(2) algunas de estas líneas perpendiculares son paralelas entre sí. Sea $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y $E$ sean los cinco puntos. Las tres líneas perpendiculares de $C$ , $D$ y $E$ à $AB$ son paralelos entre sí y no se cruzan. Por lo tanto, el número de puntos de intersección debe reducirse en $10\times 3=30$ .

(3) Los cinco puntos son los vértices de $\displaystyle \binom{5}{3}=10$ triángulos. Las altitudes de cada triángulo se cruzan en un único punto, que es el ortocentro del triángulo. Hemos contado tres veces estos puntos de intersección. Por lo tanto, el número de puntos de intersección debe reducirse en $10\times 2=20$ .

Por lo tanto, el número máximo de puntos de intersección es

$$435-70-30-20=315$$

Answer 2

Supongamos que esos cinco puntos son $A, B, C, D, E$ . Ahora, queremos crear una estructura especial.

Vamos, tomamos la línea $BC$ y dibujar una perpendicular desde $A$ en $BC$ y llamarlo $P_1$ . Podemos hacer este montaje en $\binom{5}{1}\binom{4}{2}=30$ formas. Habrá $30$ tal $P_i$ s.

Ahora, encontraremos cuántas otras perpendiculares se cruzan con la línea. Podemos hacerlo en total $20$ formas. ¿Por qué? Mira, puede dibujar perpendiculares de $B$ y $C$ a otras líneas( no hemos contado la perpendicular de $B$ à $AC$ y perpendicular de $C$ en $AB$ al cruzarse con $P_1$ en el mismo punto) en $5$ maneras para cada uno. Por lo tanto, el total $10$ formas.

Ahora, $5$ perpendiculares de cada $D$ y $E$ en las demás líneas, excepto en $BC$ (porque en este caso las perpendiculares de $D$ y $E$ serán paralelos a $P_1$ y, por tanto, no se cruzarán). Por lo tanto, el total $10$ casos.

De estos dos casos obtenemos $P_1$ se cruzará en $5×6×(5+5+5+5)=600$ formas. Pero, como hemos pasado este algoritmo por los cinco puntos, hemos contado cada punto de intersección dos veces. Por lo tanto, hay un total de $\frac{600}{2}=300$ formas. Ahora, como habíamos excluido los ortocentros, tenemos que añadir ahora. Hay un total de $\binom{5}{3}=10$ ortocentros. También debemos añadir esos vértices ya que estos son también punto de intersección de las perpendiculares de silimar, hay $5$ tal.

Así que, total de maneras $300+10+5=315$ .